Номер 346, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

346*. Докажите, что если около шара описать цилиндр и конус, осевые сечения которых есть правильные многоугольники, то:

а) объем цилиндра является средним геометрическим объемов шара и конуса;

б) площади их поверхностей образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2.

Пусть радиус шара равен $R$.

Найдем размеры, объем и площадь поверхности для каждой из трех фигур.

1. Шар

• Объем шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$
• Площадь поверхности шара: $S_{шара} = 4\pi R^2$

2. Цилиндр, описанный около шара

Если цилиндр описан около шара, то высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара.

• Высота цилиндра: $H_{цил} = 2R$
• Радиус основания цилиндра: $r_{цил} = R$

Осевое сечение такого цилиндра — прямоугольник со сторонами $H_{цил} = 2R$ и $2r_{цил} = 2R$. Так как стороны равны, это квадрат, что является правильным многоугольником, как и требует условие задачи.

• Объем цилиндра: $V_{цил} = \pi r_{цил}^2 H_{цил} = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3$
• Площадь полной поверхности цилиндра: $S_{цил} = 2\pi r_{цил} H_{цил} + 2\pi r_{цил}^2 = 2\pi R (2R) + 2(\pi R^2) = 4\pi R^2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2$

3. Конус, описанный около шара

Условие, что осевое сечение конуса — правильный многоугольник, означает, что это равносторонний треугольник. Шар вписан в этот конус, поэтому центр шара совпадает с центром вписанной в треугольник окружности, а радиус шара $R$ является радиусом этой вписанной окружности.

В равностороннем треугольнике высота $H$ и радиус вписанной окружности $R$ связаны соотношением $H = 3R$. Следовательно, высота конуса $H_{кон} = 3R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H_{кон}$, радиусом его основания $r_{кон}$ и образующей $l_{кон}$. Угол при основании в осевом сечении (равностороннем треугольнике) равен $60^\circ$.

• $\tan(60^\circ) = \frac{H_{кон}}{r_{кон}} \implies \sqrt{3} = \frac{3R}{r_{кон}} \implies r_{кон} = \frac{3R}{\sqrt{3}} = R\sqrt{3}$
• $\sin(60^\circ) = \frac{H_{кон}}{l_{кон}} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3R}{l_{кон}} \implies l_{кон} = \frac{6R}{\sqrt{3}} = 2R\sqrt{3}$

Теперь найдем объем и площадь поверхности конуса.

• Объем конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r_{кон}^2 H_{кон} = \frac{1}{3}\pi (R\sqrt{3})^2 (3R) = \frac{1}{3}\pi (3R^2)(3R) = 3\pi R^3$
• Площадь полной поверхности конуса: $S_{кон} = \pi r_{кон}^2 + \pi r_{кон} l_{кон} = \pi (R\sqrt{3})^2 + \pi (R\sqrt{3})(2R\sqrt{3}) = 3\pi R^2 + 6\pi R^2 = 9\pi R^2$

Теперь докажем утверждения из задачи.

а) объем цилиндра является средним геометрическим объемов шара и конуса;

Среднее геометрическое двух чисел $a$ и $b$ равно $\sqrt{ab}$. Нам нужно доказать, что $V_{цил} = \sqrt{V_{шара} \cdot V_{кон}}$, или, что эквивалентно, $V_{цил}^2 = V_{шара} \cdot V_{кон}$.

Подставим вычисленные значения объемов:

Левая часть: $V_{цил}^2 = (2\pi R^3)^2 = 4\pi^2 R^6$.

Правая часть: $V_{шара} \cdot V_{кон} = \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right) \cdot (3\pi R^3) = 4\pi^2 R^6$.

Поскольку левая и правая части равны, утверждение доказано. Объемы шара, цилиндра и конуса ($ \frac{4}{3}\pi R^3, 2\pi R^3, 3\pi R^3 $) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $\frac{3}{2}$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) площади их поверхностей образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2.

Проверим, образуют ли площади поверхностей $S_{шара}$, $S_{цил}$, $S_{кон}$ геометрическую прогрессию. Для этого нужно проверить, постоянно ли отношение последующего члена к предыдущему.

Наши значения площадей:

• $S_{шара} = 4\pi R^2$
• $S_{цил} = 6\pi R^2$
• $S_{кон} = 9\pi R^2$

Найдем отношения:

$\frac{S_{цил}}{S_{шара}} = \frac{6\pi R^2}{4\pi R^2} = \frac{3}{2}$

$\frac{S_{кон}}{S_{цил}} = \frac{9\pi R^2}{6\pi R^2} = \frac{3}{2}$

Поскольку отношения равны, площади поверхностей действительно образуют геометрическую прогрессию. Однако ее знаменатель равен $\frac{3}{2}$, а не 2, как указано в условии задачи. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка.

Ответ: Площади поверхностей шара, описанных около него цилиндра и конуса (с осевыми сечениями в виде правильных многоугольников) образуют геометрическую прогрессию, но ее знаменатель равен $\frac{3}{2}$, а не 2.