Номер 341, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

341. Найдите поверхность и объем шара, описанного около правильной четырехугольной усеченной пирамиды, у которой боковое ребро равно 14 см, а ребра оснований — $5\sqrt{2}$ см и $12\sqrt{2}$ см.

Для нахождения поверхности и объема шара, описанного около правильной четырехугольной усеченной пирамиды, необходимо сначала найти его радиус $R$. Центр описанного шара лежит на оси пирамиды, а все вершины пирамиды лежат на поверхности шара. Это означает, что расстояние от центра шара до любой вершины пирамиды равно радиусу $R$.

Наиболее удобный способ найти радиус — рассмотреть осевое сечение пирамиды, проходящее через диагонали её оснований. Такое сечение является равнобокой трапецией, которая вписана в большую окружность описанного шара. Радиус этой окружности и есть искомый радиус $R$.

Сначала найдем размеры этой трапеции. Основания пирамиды — это квадраты со сторонами $a_1 = 12\sqrt{2}$ см и $a_2 = 5\sqrt{2}$ см. Основания трапеции — это диагонали этих квадратов:

• Диагональ большего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 24$ см.
• Диагональ меньшего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10$ см.

Боковые стороны трапеции равны боковому ребру пирамиды, то есть $l = 14$ см.

Теперь найдем высоту $h$ усеченной пирамиды, которая также является высотой трапеции. Если провести высоты из вершин меньшего основания трапеции на большее, они образуют прямоугольные треугольники. Катет такого треугольника, лежащий на большем основании, равен полуразности оснований:

$x = \frac{d_1 - d_2}{2} = \frac{24 - 10}{2} = 7$ см.

По теореме Пифагора для треугольника, образованного боковой стороной $l$, высотой $h$ и отрезком $x$:

$h^2 = l^2 - x^2 = 14^2 - 7^2 = 196 - 49 = 147$

$h = \sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$ см.

Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся методом координат. Поместим центр большего основания трапеции (и пирамиды) в начало координат $(0,0)$, а ось симметрии трапеции (ось пирамиды) — на ось $Oy$. Тогда координаты вершин трапеции, лежащих в правой полуплоскости, будут $(\frac{d_1}{2}, 0)$ и $(\frac{d_2}{2}, h)$, то есть $(12, 0)$ и $(5, 7\sqrt{3})$.

Центр описанного шара $O_{сф}$ лежит на оси $Oy$, его координаты $(0, y)$. Расстояние от центра шара до вершин трапеции одинаково и равно $R$. Составим уравнение, приравняв квадраты расстояний от центра шара до двух вершин:

$R^2 = (12-0)^2 + (0-y)^2 = 144 + y^2$

$R^2 = (5-0)^2 + (7\sqrt{3}-y)^2 = 25 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot y + y^2 = 25 + 147 - 14\sqrt{3}y + y^2$

Приравняем правые части уравнений:

$144 + y^2 = 172 - 14\sqrt{3}y + y^2$

$14\sqrt{3}y = 172 - 144$

$14\sqrt{3}y = 28$

$y = \frac{28}{14\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$R^2 = 144 + y^2 = 144 + \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = 144 + \frac{4}{3} = \frac{432 + 4}{3} = \frac{436}{3}$

Теперь, зная квадрат радиуса, мы можем найти поверхность и объем шара.

Поверхность шара

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

$S = 4\pi \cdot \frac{436}{3} = \frac{1744\pi}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{1744\pi}{3}$ см$^2$.

Объем шара

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Мы знаем, что $R^2 = \frac{436}{3}$, значит $R = \sqrt{\frac{436}{3}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 109}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{109}}{\sqrt{3}}$.

Тогда объем равен:

$V = \frac{4}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{436}{3} \cdot \frac{2\sqrt{109}}{\sqrt{3}} = \frac{1744\pi}{9} \cdot \frac{2\sqrt{109}}{\sqrt{3}} = \frac{3488\pi\sqrt{109}}{9\sqrt{3}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$V = \frac{3488\pi\sqrt{109}\cdot\sqrt{3}}{9\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{3488\pi\sqrt{327}}{27}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{3488\pi\sqrt{327}}{27}$ см$^3$.