Номер 343, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

343. Квадрат со стороной $a$ является основанием пирамиды, две боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду, учитывая, что большее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $\alpha$.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$. По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани $SAB$ и $SAD$. Это означает, что их общее ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, и, следовательно, $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим высоту $SA = H$.

Найдем длины боковых ребер пирамиды. Так как $SA \perp (ABCD)$, то треугольники $\triangle SAB$, $\triangle SAD$ и $\triangle SAC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$. Из $\triangle SAB$: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = H^2 + a^2$. Из $\triangle SAD$: $SD^2 = SA^2 + AD^2 = H^2 + a^2$. Из $\triangle SAC$: $SC^2 = SA^2 + AC^2$. Диагональ квадрата $ABCD$ равна $AC = a\sqrt{2}$. Тогда $SC^2 = H^2 + (a\sqrt{2})^2 = H^2 + 2a^2$. Сравнивая квадраты длин боковых ребер $SA^2=H^2$, $SB^2=SD^2=H^2+a^2$ и $SC^2=H^2+2a^2$, заключаем, что ребро $SC$ является самым длинным (большее боковое ребро).

Угол между наклонной (ребром $SC$) и плоскостью (основанием $ABCD$) — это угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость. Проекцией ребра $SC$ на плоскость основания является диагональ $AC$. Следовательно, угол между боковым ребром $SC$ и плоскостью основания — это угол $\angle SCA$. По условию, $\angle SCA = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAC$. В нем:$\tan(\angle SCA) = \frac{SA}{AC}$$\tan(\alpha) = \frac{H}{a\sqrt{2}}$Отсюда выразим высоту пирамиды $H$:$H = a\sqrt{2}\tan(\alpha)$

Центр вписанного в пирамиду шара — это точка, равноудаленная от всех ее граней. Обозначим эту точку $O$, а радиус вписанного шара — $r$. Для нахождения радиуса $r$ введем систему координат. Поместим начало координат в вершину $A(0,0,0)$, ось $Ox$ направим по ребру $AB$, ось $Oy$ — по ребру $AD$, а ось $Oz$ — по высоте $SA$. Координаты вершин пирамиды будут: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $C(a,a,0)$ и $S(0,0,H)$.

Плоскость основания $(ABCD)$ задается уравнением $z=0$. Боковая грань $(SAD)$ лежит в плоскости $x=0$. Боковая грань $(SAB)$ лежит в плоскости $y=0$. Центр вписанного шара $O$ равноудален от этих трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Если его расстояние до каждой из них равно $r$, то его координаты должны быть $O(r,r,r)$.

Центр $O(r,r,r)$ также должен находиться на расстоянии $r$ от двух других боковых граней $(SBC)$ и $(SCD)$. В силу симметрии, расстояния до этих граней будут одинаковы. Найдем расстояние до грани $(SBC)$. Для этого составим уравнение плоскости, проходящей через точки $S(0,0,H)$, $B(a,0,0)$ и $C(a,a,0)$. Найдем вектор нормали к этой плоскости как векторное произведение векторов $\vec{SB} = (a, 0, -H)$ и $\vec{BC} = (0, a, 0)$:$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & -H \\ 0 & a & 0 \end{vmatrix} = aH\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (aH, 0, a^2)$. В качестве вектора нормали можно взять коллинеарный ему вектор, разделив координаты на $a$ (так как $a \ne 0$): $\vec{n'} = (H, 0, a)$. Уравнение плоскости $(SBC)$ имеет вид $Hx + 0y + az + D = 0$. Подставим координаты точки $B(a,0,0)$ для нахождения $D$:$H \cdot a + a \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow D = -aH$. Итак, уравнение плоскости $(SBC)$: $Hx + az - aH = 0$.

Расстояние от точки $O(r,r,r)$ до плоскости $Hx + az - aH = 0$ равно $r$. Используем формулу расстояния от точки до плоскости:$r = \frac{|H \cdot r + a \cdot r - aH|}{\sqrt{H^2 + 0^2 + a^2}} = \frac{|r(H+a) - aH|}{\sqrt{H^2+a^2}}$Так как центр вписанного шара $O$ находится внутри пирамиды, он должен лежать по ту же сторону от плоскости $SBC$, что и начало координат $A(0,0,0)$. Для точки $A$ выражение $Hx + az - aH$ равно $-aH < 0$. Следовательно, для точки $O$ выражение $r(H+a) - aH$ также должно быть отрицательным. Значит, $|r(H+a) - aH| = -(r(H+a) - aH) = aH - r(H+a)$. Получаем уравнение:$r\sqrt{H^2+a^2} = aH - r(H+a)$$r\sqrt{H^2+a^2} + r(H+a) = aH$$r(\sqrt{H^2+a^2} + H + a) = aH$$r = \frac{aH}{a + H + \sqrt{H^2+a^2}}$

Подставим в это выражение найденное ранее значение $H = a\sqrt{2}\tan(\alpha)$:$r = \frac{a(a\sqrt{2}\tan(\alpha))}{a + a\sqrt{2}\tan(\alpha) + \sqrt{(a\sqrt{2}\tan(\alpha))^2+a^2}}$$r = \frac{a^2\sqrt{2}\tan(\alpha)}{a + a\sqrt{2}\tan(\alpha) + \sqrt{2a^2\tan^2(\alpha)+a^2}}$$r = \frac{a^2\sqrt{2}\tan(\alpha)}{a + a\sqrt{2}\tan(\alpha) + \sqrt{a^2(1+2\tan^2(\alpha))}}$Вынесем $a$ в знаменателе за скобки и сократим дробь:$r = \frac{a^2\sqrt{2}\tan(\alpha)}{a(1 + \sqrt{2}\tan(\alpha) + \sqrt{1+2\tan^2(\alpha)})}$$r = \frac{a\sqrt{2}\tan(\alpha)}{1 + \sqrt{2}\tan(\alpha) + \sqrt{1+2\tan^2(\alpha)}}$

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{2}\tan(\alpha)}{1 + \sqrt{2}\tan(\alpha) + \sqrt{1+2\tan^2(\alpha)}}$