Номер 339, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

339. Найдите поверхность и объем шара, описанного около:

а) правильной четырехугольной усеченной пирамиды, у которой стороны оснований 14 дм и 2 дм, а боковое ребро наклонено к основанию под углом в $45^\circ$ ;

б) пирамиды, у которой основанием является прямоугольник со стороной $a$ и углом между этой стороной и диагональю основания — $\alpha$, а каждое ребро пирамиды составляет с основанием угол в $60^\circ$.

Пусть дана правильная четырехугольная усеченная пирамида. Стороны ее оснований (квадратов) равны $a_1 = 14$ дм и $a_2 = 2$ дм. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $\beta = 45^\circ$.

Найдем радиусы окружностей, описанных около оснований. Диагонали квадратов равны $d_1 = a_1\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$ дм и $d_2 = a_2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ дм. Радиусы описанных окружностей равны половинам диагоналей: $R_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$ дм, $R_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ дм.

Центр шара, описанного около правильной усеченной пирамиды, лежит на ее оси. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через диагонали оснований. Это сечение является равнобокой трапецией. Для нахождения высоты пирамиды $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания. Длина этой проекции равна разности радиусов описанных окружностей оснований: $p = R_1 - R_2 = 7\sqrt{2} - \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ дм. Так как угол наклона бокового ребра равен $45^\circ$, то высота пирамиды равна этой проекции: $h = p \cdot \tan(45^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot 1 = 6\sqrt{2}$ дм.

Пусть $R$ - радиус описанного шара, а его центр $O$ лежит на оси пирамиды на расстоянии $z$ от центра большего основания $O_1$. Тогда квадрат радиуса шара можно выразить двумя способами, используя расстояние до вершин большего и меньшего оснований: $R^2 = R_1^2 + z^2$ $R^2 = R_2^2 + (h-z)^2$ Приравнивая правые части, получаем: $R_1^2 + z^2 = R_2^2 + (h-z)^2$ $(7\sqrt{2})^2 + z^2 = (\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2} - z)^2$ $98 + z^2 = 2 + 72 - 12\sqrt{2}z + z^2$ $98 = 74 - 12\sqrt{2}z$ $12\sqrt{2}z = 74 - 98 = -24$ $z = -\frac{24}{12\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$ дм. Отрицательное значение $z$ означает, что центр шара находится вне пирамиды со стороны большего основания на расстоянии $\sqrt{2}$ дм от него.

Теперь найдем радиус шара: $R^2 = R_1^2 + z^2 = (7\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 = 98 + 2 = 100$ $R = \sqrt{100} = 10$ дм.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$: $S = 4\pi (10)^2 = 400\pi$ дм$^2$. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$: $V = \frac{4}{3}\pi (10)^3 = \frac{4000\pi}{3}$ дм$^3$.

Ответ: поверхность шара $400\pi$ дм$^2$, объем шара $\frac{4000\pi}{3}$ дм$^3$.

Пусть дана пирамида, в основании которой лежит прямоугольник со стороной $a$. Угол между этой стороной и диагональю основания равен $\alpha$. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол $60^\circ$.

Так как все боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около прямоугольника, то есть в точку пересечения его диагоналей.

Найдем диагональ $d$ прямоугольника. Из прямоугольного треугольника в основании имеем: $\cos\alpha = \frac{a}{d}$, откуда $d = \frac{a}{\cos\alpha}$. Радиус окружности, описанной около основания, равен $R_{осн} = \frac{d}{2} = \frac{a}{2\cos\alpha}$.

Центр описанного шара лежит на высоте пирамиды. Рассмотрим сечение, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. Это сечение - равнобедренный треугольник с основанием $d$ и боковыми сторонами, равными боковым ребрам пирамиды $l$. Радиус описанного шара $R$ равен радиусу окружности, описанной около этого треугольника.

Найдем длину бокового ребра $l$. Из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, его проекцией ($R_{осн}$) и высотой пирамиды, получаем: $l = \frac{R_{осн}}{\cos(60^\circ)} = \frac{a/(2\cos\alpha)}{1/2} = \frac{a}{\cos\alpha}$. Следовательно, $l=d$. Это означает, что треугольник в осевом сечении является равносторонним со стороной $d = \frac{a}{\cos\alpha}$.

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $s$, равен $R = \frac{s}{\sqrt{3}}$. В нашем случае: $R = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}\cos\alpha}$.

Теперь найдем поверхность и объем шара. Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}\cos\alpha}\right)^2 = \frac{4\pi a^2}{3\cos^2\alpha}$. Объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}\cos\alpha}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{3\sqrt{3}\cos^3\alpha} = \frac{4\pi a^3}{9\sqrt{3}\cos^3\alpha}$. Рационализировав знаменатель, получаем: $V = \frac{4\sqrt{3}\pi a^3}{27\cos^3\alpha}$.

Ответ: поверхность шара $S = \frac{4\pi a^2}{3\cos^2\alpha}$, объем шара $V = \frac{4\sqrt{3}\pi a^3}{27\cos^3\alpha}$.