Номер 333, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

333. Найдите радиус шара, который:

а) описан около правильной треугольной пирамиды, апофема которой равна $a$ и составляет с плоскостью основания угол $\alpha$;

б) вписан в правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 26 см и высотой 16 см.

а)

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с основанием $ABC$. $SO$ — высота пирамиды, $H$. $M$ — середина стороны основания $BC$. Тогда $SM$ — апофема пирамиды, и по условию $SM = a$. Угол между апофемой и плоскостью основания — это угол $SMO$, так как $OM$ является проекцией $SM$ на плоскость основания. Таким образом, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ ($\angle SOM = 90^\circ$). Из него находим высоту пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$:
$H = SO = SM \cdot \sin(\angle SMO) = a \sin\alpha$
$r_{осн} = OM = SM \cdot \cos(\angle SMO) = a \cos\alpha$

Основанием является правильный треугольник $ABC$. Радиус описанной около него окружности $R_{осн}$ связан с радиусом вписанной окружности соотношением $R_{осн} = 2r_{осн}$.
$R_{осн} = OA = 2 \cdot OM = 2a \cos\alpha$

Центр описанной около пирамиды сферы лежит на ее высоте $SO$. Радиус $R$ описанной сферы для правильной пирамиды можно найти по формуле:
$R = \frac{l^2}{2H}$, где $l$ — боковое ребро пирамиды.

Найдем квадрат бокового ребра $l^2 = SA^2$ из прямоугольного треугольника $SOA$ ($\angle SOA = 90^\circ$):
$l^2 = SA^2 = SO^2 + OA^2 = H^2 + R_{осн}^2$
$l^2 = (a \sin\alpha)^2 + (2a \cos\alpha)^2 = a^2\sin^2\alpha + 4a^2\cos^2\alpha = a^2(\sin^2\alpha + 4\cos^2\alpha)$

Подставим $l^2$ и $H$ в формулу для радиуса $R$:
$R = \frac{a^2(\sin^2\alpha + 4\cos^2\alpha)}{2a \sin\alpha} = \frac{a(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 3\cos^2\alpha)}{2\sin\alpha} = \frac{a(1 + 3\cos^2\alpha)}{2\sin\alpha}$

Ответ: $R = \frac{a(1 + 3\cos^2\alpha)}{2\sin\alpha}$.

б)

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$. Сторона основания $b=26$ см, высота пирамиды $H = SO = 16$ см, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

Центр вписанной в правильную пирамиду сферы лежит на ее высоте $SO$. Радиус $r$ вписанной сферы равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, образованный высотой пирамиды, ее апофемой и проекцией апофемы на основание.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы противоположных граней, например, $SM$ и $SN$, где $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Это сечение — равнобедренный треугольник $MSN$.
Высота этого треугольника — $SO=H=16$ см.
Основание этого треугольника — $MN=AB=b=26$ см.
Отрезок $OM$ — проекция апофемы $SM$ на основание, и его длина равна половине стороны основания: $OM = \frac{b}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

Найдем длину апофемы $l_a = SM$ из прямоугольного треугольника $SOM$ ($\angle SOM = 90^\circ$):
$l_a = SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{16^2 + 13^2} = \sqrt{256 + 169} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \cdot 17} = 5\sqrt{17}$ см.

Радиус $r$ вписанной сферы можно найти из подобия треугольников. Пусть $O_с$ — центр вписанной сферы на высоте $SO$. Тогда $O_сO=r$. Проведем из $O_с$ перпендикуляр $O_сP$ к апофеме $SM$. $O_сP$ также является радиусом $r$. Прямоугольные треугольники $SOM$ и $SPO_с$ подобны по общему острому углу $OSM$.
Из подобия следует соотношение: $\frac{O_сP}{OM} = \frac{SO_с}{SM}$.
$SO_с = SO - O_сO = H-r = 16-r$.
Подставляем известные значения:
$\frac{r}{13} = \frac{16-r}{5\sqrt{17}}$

Решим это уравнение относительно $r$:
$5\sqrt{17} \cdot r = 13 \cdot (16-r)$
$5\sqrt{17} \cdot r = 208 - 13r$
$5\sqrt{17} \cdot r + 13r = 208$
$r(5\sqrt{17} + 13) = 208$
$r = \frac{208}{13 + 5\sqrt{17}}$ см.

Ответ: $r = \frac{208}{13 + 5\sqrt{17}}$ см.