Номер 326, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

326. Шар с радиусом $R$ вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен $\alpha$. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и вписанного в него шара. Сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность радиуса $R$.

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы нижнего и верхнего оснований конуса соответственно ($r_1 > r_2$), $l$ — его образующая. Высота усеченного конуса $h$ равна диаметру вписанного шара, то есть $h = 2R$. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания равен углу $\alpha$ при большем основании трапеции.

Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему основанию. В полученном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна образующей $l$, а катет, противолежащий углу $\alpha$, равен высоте трапеции $h=2R$. По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{2R}{l}$

Отсюда выражаем длину образующей:

$l = \frac{2R}{\sin(\alpha)}$

Ответ: $\frac{2R}{\sin(\alpha)}$.

Поскольку в усеченный конус вписан шар, то в его осевое сечение (трапецию) можно вписать окружность. Для такой трапеции выполняется свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.$2r_1 + 2r_2 = l + l = 2l$, следовательно, $r_1 + r_2 = l$.

Используя найденное ранее значение $l$, получаем первое уравнение для радиусов:

$r_1 + r_2 = \frac{2R}{\sin(\alpha)}$ (1)

Рассмотрим снова прямоугольный треугольник, образованный высотой, частью большего основания и образующей. Второй катет этого треугольника равен полуразности оснований трапеции: $r_1 - r_2$. По определению котангенса:

$\text{ctg}(\alpha) = \frac{r_1 - r_2}{h} = \frac{r_1 - r_2}{2R}$

Отсюда получаем второе уравнение:

$r_1 - r_2 = 2R \cdot \text{ctg}(\alpha)$ (2)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2):

$\begin{cases} r_1 + r_2 = \frac{2R}{\sin(\alpha)} \\ r_1 - r_2 = 2R \cdot \text{ctg}(\alpha) \end{cases}$

Сложим уравнения, чтобы найти $r_1$:

$2r_1 = \frac{2R}{\sin(\alpha)} + 2R \cdot \text{ctg}(\alpha) = \frac{2R}{\sin(\alpha)} + \frac{2R\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{2R(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha}$

Для упрощения применим формулы половинного угла $1+\cos\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ и $\sin\alpha = 2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:

$r_1 = \frac{R(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{R \cdot 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = R \cdot \frac{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = R \cdot \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Вычтем уравнение (2) из (1), чтобы найти $r_2$:

$2r_2 = \frac{2R}{\sin(\alpha)} - 2R \cdot \text{ctg}(\alpha) = \frac{2R(1-\cos\alpha)}{\sin\alpha}$

Применив формулу $1-\cos\alpha = 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, получим:

$r_2 = \frac{R(1-\cos\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{R \cdot 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = R \cdot \frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = R \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $R \cdot \text{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ и $R \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.