Номер 320, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

320. В шар вписан цилиндр, у которого угол между диагоналями осевого сечения равен $\alpha$, а образующая — $l$. Найдите объем шара.

Для решения задачи нам нужно найти объем шара, который вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара. Следовательно, основная задача сводится к нахождению радиуса шара $R$.

Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него цилиндра. Это сечение представляет собой прямоугольник, вписанный в большую окружность шара. Стороны этого прямоугольника равны высоте (образующей) цилиндра $l$ и диаметру его основания $d$.

Пусть высота прямоугольника равна $l$, а ширина равна $d$. Диагональ этого прямоугольника является диаметром шара, то есть $D = 2R$.
По теореме Пифагора для прямоугольника осевого сечения имеем: $(2R)^2 = l^2 + d^2$.

Диагонали прямоугольника пересекаются в его центре, который также является центром шара. Угол между диагоналями по условию равен $\alpha$. Диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника. Рассмотрим один из этих треугольников, основанием которого является высота цилиндра $l$, а боковыми сторонами — радиусы шара $R$. Угол при вершине этого треугольника (в центре шара) будет равен $180^\circ - \alpha$, так как он смежен с углом $\alpha$, который опирается на сторону $d$.

Применим теорему косинусов к этому треугольнику:
$l^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$
$l^2 = 2R^2(1 - \cos(180^\circ - \alpha))$
Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$, получаем:
$l^2 = 2R^2(1 + \cos\alpha)$

Теперь воспользуемся формулой половинного угла $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$:
$l^2 = 2R^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$
$l^2 = 4R^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:
$l = 2R\cos(\frac{\alpha}{2})$
Отсюда выразим радиус шара $R$:
$R = \frac{l}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Теперь, зная радиус шара, мы можем найти его объем. Подставим выражение для $R$ в формулу объема шара:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{l}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}\right)^3$
$V = \frac{4}{3}\pi \frac{l^3}{8\cos^3(\frac{\alpha}{2})}$
Сократив числитель и знаменатель на 4, получаем окончательное выражение для объема шара:
$V = \frac{\pi l^3}{6\cos^3(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $V = \frac{\pi l^3}{6\cos^3(\frac{\alpha}{2})}$