Номер 317, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

317. В шар с радиусом $r$ вписан многогранник, состоящий из семи кубов, один из которых имеет общий центр с шаром, а каждый из остальных — общую грань с этим кубом и четыре вершины на поверхности шара. Найдите ребро куба.

Обозначим искомую длину ребра куба через $a$. Введем декартову систему координат с началом в центре шара $O(0, 0, 0)$. По условию, центр шара совпадает с центром одного из кубов (назовем его центральным). Направим оси координат параллельно ребрам этого куба.

Многогранник состоит из центрального куба и шести таких же кубов, примыкающих к его граням. Рассмотрим один из этих шести «внешних» кубов, например, тот, который пристроен к грани центрального куба, лежащей в плоскости $x = a/2$. Этот внешний куб будет занимать пространство, где координата $x$ изменяется от $a/2$ до $a/2 + a = 3a/2$, а координаты $y$ и $z$ изменяются в пределах от $-a/2$ до $a/2$.

Согласно условию, четыре вершины этого внешнего куба лежат на поверхности шара. Это самые удаленные от центра шара вершины, которые образуют его внешнюю грань, наиболее удаленную от начала координат. Координаты этих четырех вершин: $(3a/2, a/2, a/2)$, $(3a/2, -a/2, a/2)$, $(3a/2, a/2, -a/2)$ и $(3a/2, -a/2, -a/2)$.

Поскольку эти вершины лежат на поверхности шара радиуса $r$, расстояние от любой из них до начала координат равно $r$. Возьмем, к примеру, вершину с координатами $(3a/2, a/2, a/2)$. Квадрат ее расстояния до начала координат равен $r^2$. Используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве, получаем уравнение: $r^2 = (\frac{3a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2$

Решим это уравнение относительно $a$: $r^2 = \frac{9a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}$ $r^2 = \frac{9a^2 + a^2 + a^2}{4}$ $r^2 = \frac{11a^2}{4}$

Выразим $a^2$: $a^2 = \frac{4r^2}{11}$

Так как длина ребра $a$ является положительной величиной, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $a = \sqrt{\frac{4r^2}{11}} = \frac{2r}{\sqrt{11}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{11}$: $a = \frac{2r\sqrt{11}}{11}$

Ответ: $\frac{2r\sqrt{11}}{11}$