Номер 312, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

312. Около шара описана прямая треугольная призма, основанием которой является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом при вершине $\alpha$. Найдите высоту призмы.

По условию, около шара описана прямая треугольная призма. Это означает, что шар касается всех граней призмы: двух оснований (сверху и снизу) и трех боковых граней.

Высота прямой призмы, описанной около шара, равна диаметру этого шара. Если мы обозначим радиус шара как $R$, а высоту призмы как $H$, то справедливо соотношение $H = 2R$.

Так как призма прямая, центр вписанного шара будет находиться на середине высоты призмы. Проекция центра шара на плоскость основания призмы совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, лежащий в основании. Отсюда следует, что радиус шара $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в треугольник основания. Таким образом, наша задача сводится к нахождению радиуса вписанной окружности $r$ для треугольника в основании, после чего мы найдем высоту призмы по формуле $H = 2r$.

Основанием призмы является равнобедренный треугольник. Его боковые стороны равны $a$, а угол при вершине, то есть угол между этими сторонами, равен $\alpha$.

Радиус вписанной в произвольный треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — это площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем площадь треугольника $S$. Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними: $S = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)$.

2. Найдем полупериметр треугольника $p$. Для этого сначала найдем длину третьей стороны треугольника (его основания), которую обозначим как $c$. Применим теорему косинусов: $c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$. Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$: $c^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. Извлекая квадратный корень, получаем длину основания: $c = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь можем найти периметр $P$: $P = a + a + c = 2a + 2a\sin(\frac{\alpha}{2}) = 2a(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))$. Полупериметр $p$ равен половине периметра: $p = \frac{P}{2} = a(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))$.

3. Вычислим радиус вписанной окружности $r$. Подставим найденные значения $S$ и $p$ в формулу для радиуса: $r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)}{a(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))}$. Для упрощения этого выражения используем формулу синуса двойного угла: $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$. $r = \frac{\frac{1}{2} a^2 \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{a(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))} = \frac{a^2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{a(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))} = \frac{a \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

4. Найдем высоту призмы $H$. Высота призмы равна удвоенному радиусу вписанной окружности: $H = 2r = 2 \cdot \frac{a \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$. Применив еще раз формулу синуса двойного угла $2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sin(\alpha)$, получим окончательное выражение для высоты: $H = \frac{a \sin(\alpha)}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $H = \frac{a \sin(\alpha)}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$.