Номер 308, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

308. Докажите, что:

а) центр шара, вписанного в цилиндр, является центром симметрии цилиндра;

б) центр шара, описанного около произвольного цилиндра, является центром его симметрии.

а)

Докажем, что центр шара, вписанного в цилиндр, является центром симметрии цилиндра.

1. Обозначим центр вписанного шара как $O$. Пусть цилиндр имеет два основания — верхнее и нижнее, которые лежат в параллельных плоскостях $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Центры этих оснований обозначим как $O_1$ и $O_2$ соответственно. Отрезок $O_1O_2$ является осью цилиндра.

2. По определению, вписанный шар касается обоих оснований цилиндра. Это означает, что плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ являются касательными к шару. Расстояние от центра шара $O$ до любой касательной плоскости равно радиусу шара. Следовательно, точка $O$ равноудалена от плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$.

3. Также вписанный шар касается боковой поверхности цилиндра. Множество точек касания образует окружность, которая является большой окружностью шара (экватором). Плоскость этой окружности перпендикулярна оси цилиндра $O_1O_2$. Центр большой окружности совпадает с центром шара $O$. Следовательно, центр шара $O$ должен лежать на оси цилиндра $O_1O_2$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что центр шара $O$ лежит на оси цилиндра $O_1O_2$ и равноудален от плоскостей оснований $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Так как ось $O_1O_2$ перпендикулярна этим плоскостям, равноудаленность от плоскостей означает равноудаленность от точек $O_1$ и $O_2$. Таким образом, точка $O$ является серединой отрезка $O_1O_2$.

5. Центром симметрии цилиндра по определению является середина отрезка его оси, соединяющего центры оснований, то есть середина отрезка $O_1O_2$.

6. Поскольку и центр вписанного шара, и центр симметрии цилиндра являются серединой отрезка $O_1O_2$, эти точки совпадают.

Ответ: Утверждение доказано. Центр шара, вписанного в цилиндр, является центром симметрии этого цилиндра.

б)

Докажем, что центр шара, описанного около произвольного цилиндра, является центром его симметрии.

1. Обозначим центр описанного шара как $O$. Пусть цилиндр имеет радиус основания $r$ и высоту $h$. Окружности оснований цилиндра, обозначим их $C_1$ и $C_2$, лежат на поверхности описанного шара. Пусть центры этих окружностей — точки $O_1$ и $O_2$. Отрезок $O_1O_2$ — ось цилиндра.

2. Рассмотрим окружность основания $C_1$. Так как она лежит на сфере, то центр сферы $O$ должен быть равноудален от всех точек этой окружности. Это возможно только в том случае, если центр сферы $O$ лежит на прямой, перпендикулярной плоскости окружности $C_1$ и проходящей через ее центр $O_1$. Эта прямая является осью цилиндра $O_1O_2$.

3. Аналогично, рассматривая окружность второго основания $C_2$, мы приходим к выводу, что центр сферы $O$ должен лежать на оси цилиндра $O_1O_2$.

4. Теперь докажем, что $O$ является серединой отрезка $O_1O_2$. Пусть $R$ — радиус описанного шара. Возьмем произвольную точку $A$ на окружности $C_1$. Расстояние от этой точки до центра сферы $O$ равно $R$. Расстояние от точки $A$ до центра ее окружности $O_1$ равно $r$. Расстояние от центра сферы $O$ до центра основания $O_1$ равно длине отрезка $OO_1$. Поскольку ось цилиндра перпендикулярна его основанию, треугольник $AOO_1$ является прямоугольным с гипотенузой $OA$. По теореме Пифагора: $R^2 = (OO_1)^2 + r^2$.

5. Аналогично для произвольной точки $B$ на окружности $C_2$ и ее центра $O_2$, получаем: $R^2 = (OO_2)^2 + r^2$.

6. Приравнивая правые части равенств, получаем: $(OO_1)^2 + r^2 = (OO_2)^2 + r^2$, откуда следует, что $(OO_1)^2 = (OO_2)^2$. Так как длины отрезков неотрицательны, то $OO_1 = OO_2$.

7. Мы установили, что точка $O$ лежит на оси цилиндра $O_1O_2$ и равноудалена от ее концов $O_1$ и $O_2$. Следовательно, $O$ — середина отрезка $O_1O_2$.

8. Центр симметрии цилиндра — это середина отрезка его оси $O_1O_2$.

9. Таким образом, центр описанного шара совпадает с центром симметрии цилиндра.

Ответ: Утверждение доказано. Центр шара, описанного около цилиндра, является центром его симметрии.