Номер 301, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

301*. В шаре радиусом 60 мм просверлено цилиндрическое отверстие диаметром 30 мм, ось которого проходит через центр шара. Найдите объем образованного тела.

Для нахождения объема образованного тела воспользуемся методом интегрального исчисления, который позволяет вычислить объем тела вращения. Этот подход является наиболее прямым и позволяет избежать сложных вычислений объемов шаровых сегментов.

Решение

Расположим шар с центром в начале координат $(0,0,0)$, а ось цилиндрического отверстия направим вдоль оси $OY$.
Радиус шара по условию: $R = 60$ мм.
Диаметр цилиндрического отверстия: $d = 30$ мм, следовательно, его радиус: $r = 15$ мм.

Объем тела найдем с помощью метода поперечных сечений (также известного как метод шайб или колец). Рассмотрим сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси вращения $OY$ на произвольной высоте $y$. Такое сечение будет представлять собой кольцо.
Внешний радиус этого кольца, $R_{внеш}$, определяется уравнением сферы: $x^2 + y^2 = R^2$. Отсюда радиус сечения сферы на высоте $y$ равен $x = \sqrt{R^2 - y^2}$. Значит, $R_{внеш} = \sqrt{R^2 - y^2}$.
Внутренний радиус кольца, $R_{внутр}$, постоянен и равен радиусу просверленного отверстия: $R_{внутр} = r$.

Площадь поперечного сечения $A(y)$ как функция от высоты $y$ равна разности площадей кругов с внешним и внутренним радиусами:
$A(y) = \pi(R_{внеш}^2 - R_{внутр}^2) = \pi\left((\sqrt{R^2 - y^2})^2 - r^2\right) = \pi(R^2 - y^2 - r^2)$.

Далее, найдем пределы интегрирования по оси $OY$. Тело существует только в тех пределах, где сфера "шире" отверстия, то есть где $R_{внеш} \ge R_{внутр}$.
$\sqrt{R^2 - y^2} \ge r \Rightarrow R^2 - y^2 \ge r^2 \Rightarrow y^2 \le R^2 - r^2$.
Отсюда следует, что $y$ изменяется в пределах от $-\sqrt{R^2 - r^2}$ до $\sqrt{R^2 - r^2}$.
Обозначим эту полувысоту как $h = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Вычислим численное значение $h$:
$h = \sqrt{60^2 - 15^2} = \sqrt{3600 - 225} = \sqrt{3375} = \sqrt{225 \cdot 15} = 15\sqrt{15}$ мм.

Объем тела $V$ находится путем интегрирования площади сечения $A(y)$ по $y$ в найденных пределах от $-h$ до $h$:
$V = \int_{-h}^{h} A(y) dy = \int_{-h}^{h} \pi(R^2 - r^2 - y^2) dy$.
Поскольку подынтегральная функция $f(y) = R^2 - r^2 - y^2$ является четной, можно воспользоваться свойством симметрии и упростить вычисление:
$V = 2\pi \int_{0}^{h} (R^2 - r^2 - y^2) dy$.

Выполним интегрирование:
$V = 2\pi \left[ (R^2 - r^2)y - \frac{y^3}{3} \right]_0^h = 2\pi \left( (R^2 - r^2)h - \frac{h^3}{3} \right)$.
Теперь подставим выражение для $h = \sqrt{R^2 - r^2}$:
$V = 2\pi \left( (R^2 - r^2)\sqrt{R^2 - r^2} - \frac{(\sqrt{R^2 - r^2})^3}{3} \right) = 2\pi \left( (R^2 - r^2)^{3/2} - \frac{1}{3}(R^2 - r^2)^{3/2} \right)$.
$V = 2\pi \cdot \frac{2}{3}(R^2 - r^2)^{3/2} = \frac{4\pi}{3}(R^2 - r^2)^{3/2}$.

Подставим числовые значения в итоговую формулу:
$R^2 - r^2 = 3600 - 225 = 3375$.
$V = \frac{4\pi}{3}(3375)^{3/2} = \frac{4\pi}{3}(\sqrt{3375})^3 = \frac{4\pi}{3}(15\sqrt{15})^3$.
$(15\sqrt{15})^3 = 15^3 \cdot (\sqrt{15})^3 = 3375 \cdot 15\sqrt{15} = 50625\sqrt{15}$.
$V = \frac{4\pi}{3} \cdot 50625\sqrt{15} = 4\pi \cdot \left(\frac{50625}{3}\right)\sqrt{15} = 4\pi \cdot 16875\sqrt{15}$.
$V = 67500\sqrt{15}\pi$ мм³.

Ответ: $67500\sqrt{15}\pi$ мм³.