Номер 294, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

Высота

Рис. 192

Высота

Рис. 193

294*. Тело, образованное вращением кругового сектора вокруг прямой, которая проходит через его центр, лежит в его плоскости и не имеет с ним общих внутренних точек, называется шаровым сектором. Шаровой сектор может быть двух видов, в зависимости от того, принадлежит или нет оси вращения один из крайних радиусов кругового сектора. Первый из этих секторов ограничен куполом и конической поверхностью (рис. 192), второй — сферическим поясом и двумя коническими поверхностями (рис. 193). Высота купола для первого сектора или перпендикуляр, опущенный из плоскости основания одной конической поверхности на плоскость основания другой поверхности для второго купола, называется высотой шарового сектора. Докажите, что объем шарового сектора с радиусом $R$ и высотой $h$ выражается формулой:

$$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$$

Для доказательства формулы объема шарового сектора рассмотрим два случая, описанные в задаче.

Доказательство для сектора первого вида (рис. 192)

Шаровой сектор первого вида состоит из шарового сегмента и конуса, имеющих общее основание. Объем такого сектора равен сумме объемов шарового сегмента и конуса.

Пусть $R$ — радиус шара, а $h$ — высота шарового сектора, которая также является высотой шарового сегмента. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:$V_{сегмента} = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)$.

Конус, входящий в состав сектора, имеет вершину в центре шара. Его высота $H_{конуса}$ равна расстоянию от центра шара до основания сегмента, то есть $H_{конуса} = R - h$. Радиус основания конуса, обозначим его $r$, можно найти из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара $R$ (гипотенуза), высотой конуса $R-h$ и радиусом основания $r$ (катеты). По теореме Пифагора:$R^2 = (R-h)^2 + r^2$$r^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) = 2Rh - h^2$.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 H_{конуса}$. Подставим найденные значения:$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi (2Rh - h^2)(R - h) = \frac{1}{3}\pi (2R^2h - 2Rh^2 - Rh^2 + h^3) = \frac{1}{3}\pi (2R^2h - 3Rh^2 + h^3)$.

Теперь найдем общий объем шарового сектора $V$, сложив объемы сегмента и конуса:$V = V_{сегмента} + V_{конуса} = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right) + \frac{1}{3}\pi (2R^2h - 3Rh^2 + h^3)$$V = \left(\pi Rh^2 - \frac{\pi h^3}{3}\right) + \left(\frac{2}{3}\pi R^2h - \pi Rh^2 + \frac{\pi h^3}{3}\right)$$V = \pi Rh^2 - \pi Rh^2 - \frac{\pi h^3}{3} + \frac{\pi h^3}{3} + \frac{2}{3}\pi R^2h$$V = \frac{2}{3}\pi R^2h$. Таким образом, для сектора первого вида формула доказана.

Доказательство для сектора второго вида (рис. 193)

Шаровой сектор второго вида, ограниченный сферическим поясом, можно представить как разность двух шаровых секторов первого вида, имеющих общую вершину в центре шара.

Пусть данный сектор получен вращением кругового сектора, ограниченного радиусами, которые составляют с осью вращения углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ ($\alpha_1 < \alpha_2$). Высота $h$ сферического пояса, соответствующего этому сектору, равна:$h = R\cos\alpha_1 - R\cos\alpha_2$.

Рассмотрим два шаровых сектора первого вида:

1. Больший сектор с высотой $h_1 = R - R\cos\alpha_1$.
2. Меньший сектор с высотой $h_2 = R - R\cos\alpha_2$.

Объем искомого сектора $V$ равен разности объемов этих двух секторов, $V = V_1 - V_2$.

Используя доказанную выше формулу для сектора первого вида:$V_1 = \frac{2}{3}\pi R^2 h_1 = \frac{2}{3}\pi R^2 (R - R\cos\alpha_1)$$V_2 = \frac{2}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{2}{3}\pi R^2 (R - R\cos\alpha_2)$

Вычислим разность объемов:$V = V_1 - V_2 = \frac{2}{3}\pi R^2 (R - R\cos\alpha_1) - \frac{2}{3}\pi R^2 (R - R\cos\alpha_2)$$V = \frac{2}{3}\pi R^2 [(R - R\cos\alpha_1) - (R - R\cos\alpha_2)]$$V = \frac{2}{3}\pi R^2 (R - R\cos\alpha_1 - R + R\cos\alpha_2)$$V = \frac{2}{3}\pi R^2 (R\cos\alpha_1 - R\cos\alpha_2)$

Так как $h = R\cos\alpha_1 - R\cos\alpha_2$, мы получаем:$V = \frac{2}{3}\pi R^2h$. Формула верна и для второго вида шарового сектора.

Таким образом, доказано, что объем шарового сектора с радиусом шара $R$ и высотой соответствующего сферического сегмента или пояса $h$ выражается формулой $V = \frac{2}{3}\pi R^2h$.
Ответ: $V = \frac{2}{3}\pi R^2h$.