Номер 295, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

295*. Найдите объем шарового сектора, полученного вращением кругового сектора:

а) с углом в $30^\circ$ и радиусом $R$ вокруг одного из граничных радиусов;

б) с радиусом $r$ и дугой в $120^\circ$ вокруг прямой, которая проходит через центр сектора, лежит в его плоскости и составляет с крайними радиусами углы в $30^\circ$.

а)

Шаровой сектор получается вращением кругового сектора с углом $\alpha = 30^\circ$ и радиусом $R$ вокруг одного из его граничных радиусов. Пусть вращение происходит вокруг радиуса $OA$. Тогда радиус полученного шара равен радиусу кругового сектора, то есть $R$.

Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$

где $R$ – радиус шара, а $h$ – высота соответствующего шарового сегмента (шапочки).

Высота $h$ в данном случае равна разности между радиусом $R$ и проекцией второго граничного радиуса ($OB$) на ось вращения ($OA$). Угол между радиусами $OA$ и $OB$ равен $30^\circ$.

Проекция радиуса $OB$ на ось вращения равна $R \cos(30^\circ)$. Таким образом, высота шарового сегмента равна:

$h = R - R \cos(30^\circ) = R(1 - \cos(30^\circ))$

Зная, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$h = R(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = R\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим значение $h$ в формулу для объема шарового сектора:

$V = \frac{2}{3}\pi R^2 \left(R\frac{2-\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi R^3 \frac{2-\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi R^3(2-\sqrt{3})}{3}$

Ответ: $V = \frac{\pi R^3(2-\sqrt{3})}{3}$

б)

Рассмотрим круговой сектор с радиусом $r$ и центральным углом $120^\circ$. Ось вращения $L$ проходит через центр сектора $O$, лежит в его плоскости и составляет с крайними радиусами $OA$ и $OB$ углы в $30^\circ$.

Для определения объема тела вращения разместим сектор в полярной системе координат. Пусть ось вращения $L$ совпадает с полярной осью (осью Ox). Условие, что ось вращения составляет углы по $30^\circ$ с радиусами $OA$ и $OB$, означает, что радиусы расположены по углам $\phi_1$ и $\phi_2$ относительно оси $L$. Чтобы угол между радиусами был $120^\circ$, они должны быть расположены по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через центр. Геометрически это возможно, если сектор расположен, например, между углами $\phi_1 = 30^\circ$ и $\phi_2 = 150^\circ$. Угол сектора при этом равен $\phi_2 - \phi_1 = 150^\circ - 30^\circ = 120^\circ$. Угол между осью вращения (полярной осью) и радиусом $OA$ (под углом $150^\circ$) равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Угол между осью вращения и радиусом $OB$ (под углом $30^\circ$) равен $30^\circ$. Все условия задачи выполнены.

Объем тела, полученного вращением плоской фигуры, заданной в полярных координатах неравенствами $0 \le \rho \le \rho(\phi)$ и $\phi_1 \le \phi \le \phi_2$, вокруг полярной оси, вычисляется по формуле:

$V = \frac{2\pi}{3} \int_{\phi_1}^{\phi_2} [\rho(\phi)]^3 \sin\phi \,d\phi$

В нашем случае граница сектора — это дуга окружности, поэтому $\rho(\phi) = r$ (постоянная величина). Пределы интегрирования в радианах: $\phi_1 = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ и $\phi_2 = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем наши значения в формулу:

$V = \frac{2\pi}{3} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} r^3 \sin\phi \,d\phi = \frac{2\pi r^3}{3} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \sin\phi \,d\phi$

Вычисляем интеграл:

$\int_{\pi/6}^{5\pi/6} \sin\phi \,d\phi = [-\cos\phi]_{\pi/6}^{5\pi/6} = -\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = -\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Теперь находим объем:

$V = \frac{2\pi r^3}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}r^3$

Ответ: $V = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}r^3$