Номер 293, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

293*. Секущая плоскость разделяет шар на два тела (рис. 188), каждое из которых называется шаровым сегментом. Круг сечения называется основанием сегмента. Каждый из отрезков, на которые секущая плоскость разделяет перпендикулярный ей диаметр шара, называют высотой соответствующего шарового сегмента. Две параллельные секущие плоскости разделяют шар на два шаровых сегмента и еще одно тело (рис. 189), которое называют шаровым слоем. Круги сечений называются основаниями шарового слоя. Перпендикуляр, опущенный из одной секущей плоскости к другой, называют высотой шарового слоя.

Рис. 188

Рис. 189

Рис. 190

Рис. 191

Докажите, что:

а) объем V шарового сегмента с радиусом R и высотой h выражается формулой $V = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h)$ (рис.190);

б) объем V шарового слоя с радиусом R, радиусами оснований $r_1$ и $r_2$ и высотой h выражается формулой $V = \frac{1}{6} \pi h (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$ (рис. 191).

а)

Для доказательства формулы объема шарового сегмента воспользуемся методом интегрирования. Шаровой сегмент можно рассматривать как тело, полученное при вращении криволинейной трапеции вокруг оси Ox.

Разместим шар радиусом $R$ в системе координат так, чтобы его центр совпадал с началом координат. Уравнение окружности, образующей шар при вращении, в плоскости Oxy имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$.

Шаровой сегмент высотой $h$ отсекается от шара плоскостью, перпендикулярной оси Ox. Пусть эта плоскость проходит через точку с координатой $x = R-h$. Таким образом, сегмент расположен в пределах от $x = R-h$ до $x = R$.

Объем тела вращения вычисляется по формуле: $V = \int_{a}^{b} \pi y^2 dx$ В нашем случае $a = R-h$, $b = R$ и $y^2 = R^2 - x^2$.

Подставим эти значения в интеграл:

$V = \int_{R-h}^{R} \pi (R^2 - x^2) dx = \pi \int_{R-h}^{R} (R^2 - x^2) dx$

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{R-h}^{R} = \pi \left( (R^2 \cdot R - \frac{R^3}{3}) - (R^2(R-h) - \frac{(R-h)^3}{3}) \right)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$V = \pi \left( (R^3 - \frac{R^3}{3}) - (R^3 - R^2h - \frac{R^3 - 3R^2h + 3Rh^2 - h^3}{3}) \right)$

$V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} - R^3 + R^2h + \frac{R^3 - 3R^2h + 3Rh^2 - h^3}{3} \right)$

$V = \pi \left( -\frac{R^3}{3} + R^2h + \frac{R^3}{3} - R^2h + Rh^2 - \frac{h^3}{3} \right)$

$V = \pi (Rh^2 - \frac{h^3}{3}) = \pi h^2 (R - \frac{h}{3}) = \frac{1}{3}\pi h^2(3R - h)$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi h^2(3R - h)$.

б)

Объем шарового слоя можно найти как объем тела вращения, ограниченного двумя параллельными плоскостями, или как разность объемов двух шаровых сегментов. Мы воспользуемся методом интегрирования.

Аналогично пункту а), поместим шар радиусом $R$ с центром в начале координат. Шаровой слой высотой $h$ ограничен двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными оси Ox. Пусть эти плоскости проходят через точки с координатами $x_1$ и $x_2$. Тогда высота слоя $h = x_2 - x_1$. Радиусы оснований слоя $r_1$ и $r_2$ связаны с $R$, $x_1$ и $x_2$ следующими соотношениями (из теоремы Пифагора): $r_1^2 = R^2 - x_1^2$ $r_2^2 = R^2 - x_2^2$

Объем слоя равен:

$V = \int_{x_1}^{x_2} \pi (R^2 - x^2) dx = \pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x_1}^{x_2}$

$V = \pi \left( (R^2x_2 - \frac{x_2^3}{3}) - (R^2x_1 - \frac{x_1^3}{3}) \right) = \pi \left( R^2(x_2-x_1) - \frac{1}{3}(x_2^3-x_1^3) \right)$

Так как $h = x_2 - x_1$ и $x_2^3-x_1^3 = (x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) = h(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)$, получаем:

$V = \pi \left( R^2h - \frac{1}{3}h(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) \right) = \frac{\pi h}{3} (3R^2 - x_1^2 - x_1x_2 - x_2^2)$

Теперь преобразуем это выражение к требуемому виду $V = \frac{1}{6}\pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$. Для этого покажем, что выражения в скобках эквивалентны с точностью до множителя 2. Рассмотрим выражение из искомой формулы:

$3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2 = 3(R^2 - x_1^2) + 3(R^2 - x_2^2) + (x_2-x_1)^2$

Раскроем скобки:

$= 3R^2 - 3x_1^2 + 3R^2 - 3x_2^2 + x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2$

$= 6R^2 - 2x_1^2 - 2x_2^2 - 2x_1x_2 = 2(3R^2 - x_1^2 - x_1x_2 - x_2^2)$

Подставим это обратно в формулу, которую нужно доказать:

$V = \frac{1}{6}\pi h (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2) = \frac{1}{6}\pi h \cdot 2(3R^2 - x_1^2 - x_1x_2 - x_2^2) = \frac{\pi h}{3}(3R^2 - x_1^2 - x_1x_2 - x_2^2)$

Мы получили то же самое выражение для объема, что и при интегрировании. Следовательно, формула верна.

Ответ: $V = \frac{1}{6}\pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$.