Номер 290, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

290. Учитывая, что плотность меди $8.9 \text{ г/см}^3$, определите, будет ли плавать в воде пустой медный шар с диаметром 10 см и толщиной стенок:

а) 2 мм;

б) 1,5 мм.

Для того чтобы определить, будет ли тело плавать в воде, необходимо сравнить его среднюю плотность с плотностью воды. Тело плавает, если его средняя плотность меньше или равна плотности воды ($\rho_{воды} \approx 1 \text{ г/см}^3$), и тонет, если его средняя плотность больше плотности воды. Условие плавания: $\rho_{ср} \leq \rho_{воды}$.

Средняя плотность полого шара ($\rho_{ср}$) вычисляется как отношение массы шара ($m$) к его полному внешнему объему ($V_{полный}$):

$\rho_{ср} = \frac{m}{V_{полный}}$

Масса шара — это масса меди, из которой он сделан. Она равна произведению плотности меди ($\rho_{меди}$) на объем меди ($V_{меди}$):

$m = \rho_{меди} \cdot V_{меди}$

Объем меди ($V_{меди}$) — это разность между внешним объемом шара и объемом внутренней полости:

$V_{меди} = V_{полный} - V_{внутренний} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)$, где $R$ — внешний радиус, а $r$ — внутренний радиус.

Исходные данные:
Плотность меди: $\rho_{меди} = 8,9 \text{ г/см}^3$
Внешний диаметр шара: $D = 10 \text{ см}$
Внешний радиус шара: $R = D/2 = 5 \text{ см}$
Плотность воды: $\rho_{воды} = 1 \text{ г/см}^3$

Сначала вычислим полный (внешний) объем шара, который будет равен объему вытесняемой воды при полном погружении:

$V_{полный} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (5 \text{ см})^3 = \frac{500\pi}{3} \text{ см}^3 \approx 523,6 \text{ см}^3$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

Шаг 1: Переведем толщину стенки $h_а$ в сантиметры.
$h_а = 2 \text{ мм} = 0,2 \text{ см}$

Шаг 2: Вычислим внутренний радиус шара $r_а$.
$r_а = R - h_а = 5 \text{ см} - 0,2 \text{ см} = 4,8 \text{ см}$

Шаг 3: Вычислим объем меди $V_{меди,а}$.
$V_{меди,а} = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r_а^3) = \frac{4}{3}\pi (5^3 - 4,8^3) \text{ см}^3 = \frac{4}{3}\pi (125 - 110,592) \text{ см}^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 14,408 \text{ см}^3 \approx 60,35 \text{ см}^3$

Шаг 4: Вычислим массу медного шара $m_а$.
$m_а = \rho_{меди} \cdot V_{меди,а} = 8,9 \text{ г/см}^3 \cdot 60,35 \text{ см}^3 \approx 537,12 \text{ г}$

Шаг 5: Вычислим среднюю плотность шара $\rho_{ср,а}$.
$\rho_{ср,а} = \frac{m_а}{V_{полный}} = \frac{537,12 \text{ г}}{523,6 \text{ см}^3} \approx 1,026 \text{ г/см}^3$

Шаг 6: Сравним среднюю плотность шара с плотностью воды.
$\rho_{ср,а} \approx 1,026 \text{ г/см}^3$, что больше, чем $\rho_{воды} = 1 \text{ г/см}^3$.
Так как средняя плотность шара больше плотности воды, он утонет.

Ответ: Нет, шар с толщиной стенок 2 мм не будет плавать в воде, он утонет.

Шаг 1: Переведем толщину стенки $h_б$ в сантиметры.
$h_б = 1,5 \text{ мм} = 0,15 \text{ см}$

Шаг 2: Вычислим внутренний радиус шара $r_б$.
$r_б = R - h_б = 5 \text{ см} - 0,15 \text{ см} = 4,85 \text{ см}$

Шаг 3: Вычислим объем меди $V_{меди,б}$.
$V_{меди,б} = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r_б^3) = \frac{4}{3}\pi (5^3 - 4,85^3) \text{ см}^3 = \frac{4}{3}\pi (125 - 114,0898) \text{ см}^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 10,9102 \text{ см}^3 \approx 45,69 \text{ см}^3$

Шаг 4: Вычислим массу медного шара $m_б$.
$m_б = \rho_{меди} \cdot V_{меди,б} = 8,9 \text{ г/см}^3 \cdot 45,69 \text{ см}^3 \approx 406,64 \text{ г}$

Шаг 5: Вычислим среднюю плотность шара $\rho_{ср,б}$.
$\rho_{ср,б} = \frac{m_б}{V_{полный}} = \frac{406,64 \text{ г}}{523,6 \text{ см}^3} \approx 0,777 \text{ г/см}^3$

Шаг 6: Сравним среднюю плотность шара с плотностью воды.
$\rho_{ср,б} \approx 0,777 \text{ г/см}^3$, что меньше, чем $\rho_{воды} = 1 \text{ г/см}^3$.
Так как средняя плотность шара меньше плотности воды, он будет плавать.

Ответ: Да, шар с толщиной стенок 1,5 мм будет плавать в воде.