Номер 288, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

288. В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до определенного уровня, опускают 4 одинаковых металлических шарика с диаметром 1 см. Определите, на сколько изменится уровень воды в мензурке.

Когда 4 металлических шарика опускают в мензурку, они вытесняют объем воды, равный их суммарному объему. Этот вытесненный объем воды, имеющий форму цилиндра с высотой, равной изменению уровня воды ($\Delta h$), и основанием, равным основанию мензурки, и определяет, на сколько поднимется вода.

1. Вычислим суммарный объем четырех шариков.

Объем одного шара находится по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Радиус одного шарика ($r_{ш}$) при диаметре $d_{ш} = 1$ см равен: $r_{ш} = \frac{d_{ш}}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Объем одного шарика: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (0,5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 0,125 = \frac{0,5\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ см³.

Суммарный объем четырех шариков ($V_{общ}$): $V_{общ} = 4 \cdot V_{шара} = 4 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ см³.

2. Вычислим изменение уровня воды в мензурке.

Объем вытесненной воды ($V_{воды}$) равен общему объему шариков. Этот объем также можно выразить через площадь основания мензурки ($S_{осн}$) и изменение высоты уровня воды ($\Delta h$): $V_{воды} = S_{осн} \cdot \Delta h$.

Площадь основания цилиндрической мензурки: $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ - радиус мензурки.

Радиус мензурки ($R$) при диаметре $D_{м} = 2,5$ см равен: $R = \frac{D_{м}}{2} = \frac{2,5}{2} = 1,25$ см.

Приравняем объем шариков объему вытесненной воды: $V_{общ} = S_{осн} \cdot \Delta h$ $\frac{2\pi}{3} = \pi R^2 \cdot \Delta h$ $\frac{2\pi}{3} = \pi (1,25)^2 \cdot \Delta h$

Сократив $\pi$ в обеих частях, получим: $\frac{2}{3} = (1,25)^2 \cdot \Delta h$ $\frac{2}{3} = 1,5625 \cdot \Delta h$

Выразим $\Delta h$: $\Delta h = \frac{2}{3 \cdot 1,5625}$

Для точности проведем вычисления в обыкновенных дробях, зная, что $1,25 = \frac{5}{4}$: $\Delta h = \frac{2/3}{(5/4)^2} = \frac{2/3}{25/16} = \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{25} = \frac{32}{75}$ см.

Переводя в десятичную дробь: $\Delta h = \frac{32}{75} \approx 0,4266...$ см.

Округляя до сотых, получаем $\Delta h \approx 0,43$ см.

Ответ: уровень воды в мензурке изменится на $\frac{32}{75}$ см, что приблизительно равно 0,43 см.