Номер 298, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

298*. Найдите объем шарового слоя, который образуется, если в шаре с радиусом:

а) 13 см по разные стороны от его центра провести два равных параллельных сечения с радиусом 5 см;

б) $r$ провести два параллельных сечения, из которых одно проходит через центр, а другое делит поверхность шара в отношении $1 : 3$.

а)

Пусть $R$ - радиус шара, $R = 13$ см. Шаровой слой образован двумя равными параллельными сечениями с радиусом $r_1 = r_2 = r_{сеч} = 5$ см, расположенными по разные стороны от центра шара.

Найдем расстояние $d$ от центра шара до каждого из сечений. Рассмотрим осевое сечение шара, которое перпендикулярно секущим плоскостям. В этом сечении мы увидим окружность радиуса $R$ и два отрезка (хорды), соответствующие сечениям. Расстояние от центра окружности до хорды, радиус окружности и половина хорды (равная радиусу сечения) образуют прямоугольный треугольник.

По теореме Пифагора: $R^2 = r_{сеч}^2 + d^2$

Отсюда $d = \sqrt{R^2 - r_{сеч}^2}$. Подставим известные значения: $d = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Поскольку сечения находятся по разные стороны от центра, высота шарового слоя $h$ (расстояние между секущими плоскостями) равна сумме расстояний от центра до каждого сечения: $h = d + d = 12 + 12 = 24$ см.

Объем шарового слоя $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{6} \pi h (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$

Подставим значения $h = 24$ см, $r_1 = 5$ см и $r_2 = 5$ см: $V = \frac{1}{6} \pi \cdot 24 \cdot (3 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^2 + 24^2) = 4\pi \cdot (3 \cdot 25 + 3 \cdot 25 + 576) = 4\pi \cdot (75 + 75 + 576) = 4\pi \cdot (150 + 576) = 4\pi \cdot 726 = 2904\pi$ см$^3$.

Ответ: $2904\pi$ см$^3$.

б)

Пусть радиус шара равен $r$. Шаровой слой образован двумя параллельными сечениями. Одно сечение проходит через центр шара, а другое делит поверхность шара в отношении $1:3$.

Площадь поверхности шара равна $S_{сферы} = 4\pi r^2$. Второе сечение делит эту поверхность на две части (площади двух сферических сегментов) $S_1$ и $S_2$ так, что $S_1/S_2 = 1/3$.

Тогда площадь меньшего сегмента составляет $S_1 = \frac{1}{1+3} S_{сферы} = \frac{1}{4} S_{сферы} = \frac{1}{4} (4\pi r^2) = \pi r^2$.

Площадь поверхности сферического сегмента (шапочки) вычисляется по формуле $S_{сегм} = 2\pi r H$, где $H$ - высота сегмента. Приравняем $S_1$ к этой формуле: $2\pi r H = \pi r^2$.

Отсюда находим высоту меньшего сегмента: $H = \frac{\pi r^2}{2\pi r} = \frac{r}{2}$.

Высота шарового слоя $h$ равна расстоянию между секущими плоскостями. Первая плоскость проходит через центр. Расстояние $d$ от центра до второй секущей плоскости связано с высотой отсекаемого ею сегмента $H$ соотношением $d = r - H$. $d = r - \frac{r}{2} = \frac{r}{2}$.

Таким образом, высота нашего шарового слоя $h = d = \frac{r}{2}$.

Теперь найдем радиусы оснований шарового слоя. Первое основание - это сечение через центр, его радиус $r_1 = r$. Радиус второго основания $r_2$ найдем по теореме Пифагора: $r_2^2 = r^2 - d^2 = r^2 - (\frac{r}{2})^2 = r^2 - \frac{r^2}{4} = \frac{3r^2}{4}$.

Вычислим объем шарового слоя по формуле $V = \frac{1}{6} \pi h (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$. Подставим найденные значения $h = \frac{r}{2}$, $r_1^2 = r^2$ и $r_2^2 = \frac{3r^2}{4}$: $V = \frac{1}{6} \pi (\frac{r}{2}) (3r^2 + 3 \cdot \frac{3r^2}{4} + (\frac{r}{2})^2) = \frac{\pi r}{12} (3r^2 + \frac{9r^2}{4} + \frac{r^2}{4})$ $V = \frac{\pi r}{12} (3r^2 + \frac{10r^2}{4}) = \frac{\pi r}{12} (3r^2 + \frac{5r^2}{2})$ $V = \frac{\pi r}{12} (\frac{6r^2 + 5r^2}{2}) = \frac{\pi r}{12} \cdot \frac{11r^2}{2} = \frac{11\pi r^3}{24}$.

Ответ: $\frac{11\pi r^3}{24}$.