Номер 302, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

302*. Полукруг с радиусом $r$, разделенный двумя радиусами на три доли, вращается вокруг диаметра. Найдите объемы тел, полученных при вращении каждой доли.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Расположим центр полукруга радиуса $r$ в начале координат $O(0,0)$, а его диаметр — на оси абсцисс $Ox$. Таким образом, полукруг находится в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Вращение полукруга происходит вокруг его диаметра, то есть вокруг оси $Ox$.

Согласно условию, полукруг разделен двумя радиусами на три доли. В полярных координатах, где угол $\theta$ отсчитывается от положительного направления оси $Ox$, полукругу соответствуют углы от $0$ до $\pi$. Пусть два делящих радиуса образуют с осью $Ox$ углы $\alpha$ и $\beta$, причем $0 < \alpha < \beta < \pi$. Тогда полукруг делится на три сектора (доли) со следующими диапазонами углов:

• Первая доля: от $0$ до $\alpha$.
• Вторая доля: от $\alpha$ до $\beta$.
• Третья доля: от $\beta$ до $\pi$.

Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, можно вычислить с помощью интегрирования. Объем тела, полученного вращением вокруг оси $Ox$ области $R$, в полярных координатах вычисляется по формуле $V = \iint_R 2\pi y \, dA$. В полярных координатах расстояние до оси вращения $y = \rho \sin\theta$, а элемент площади $dA = \rho \, d\rho \, d\theta$.

Найдем общую формулу для объема тела, полученного при вращении сектора, ограниченного углами $\theta_1$ и $\theta_2$ и радиусом $r$. $V = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_0^r 2\pi (\rho \sin\theta) (\rho \, d\rho \, d\theta) = 2\pi \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin\theta \left( \int_0^r \rho^2 \, d\rho \right) d\theta$. Вычисляем внутренний интеграл: $\int_0^r \rho^2 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_0^r = \frac{r^3}{3}$. Подставляя результат в основной интеграл, получаем: $V = 2\pi \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin\theta \left( \frac{r^3}{3} \right) d\theta = \frac{2\pi r^3}{3} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin\theta \, d\theta = \frac{2\pi r^3}{3} [-\cos\theta]_{\theta_1}^{\theta_2} = \frac{2\pi r^3}{3} (\cos\theta_1 - \cos\theta_2)$. Таким образом, объем тела, полученного вращением сектора от угла $\theta_1$ до $\theta_2$, равен $V(\theta_1, \theta_2) = \frac{2\pi r^3}{3} (\cos\theta_1 - \cos\theta_2)$.

Теперь применим эту формулу для нахождения объемов тел, полученных при вращении каждой из трех долей.
Объем $V_1$, полученный при вращении первой доли (сектор от $0$ до $\alpha$): $V_1 = \frac{2\pi r^3}{3} (\cos(0) - \cos\alpha) = \frac{2\pi r^3}{3} (1 - \cos\alpha)$.
Объем $V_2$, полученный при вращении второй доли (сектор от $\alpha$ до $\beta$): $V_2 = \frac{2\pi r^3}{3} (\cos\alpha - \cos\beta)$.
Объем $V_3$, полученный при вращении третьей доли (сектор от $\beta$ до $\pi$): $V_3 = \frac{2\pi r^3}{3} (\cos\beta - \cos\pi) = \frac{2\pi r^3}{3} (\cos\beta - (-1)) = \frac{2\pi r^3}{3} (1 + \cos\beta)$.
Параметры $\alpha$ и $\beta$ — это углы, которые задают положение двух радиусов, делящих полукруг.

Ответ: Объемы тел, полученных при вращении каждой доли, равны $V_1 = \frac{2\pi r^3}{3} (1 - \cos\alpha)$, $V_2 = \frac{2\pi r^3}{3} (\cos\alpha - \cos\beta)$ и $V_3 = \frac{2\pi r^3}{3} (1 + \cos\beta)$, где $r$ — радиус полукруга, а $\alpha$ и $\beta$ ($0 < \alpha < \beta < \pi$) — углы, которые образуют делящие радиусы с одним из концов диаметра.