Номер 322, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

322. Докажите, что:

а) цилиндр или конус, ось которого проходит через центр шара, пересекает его поверхность по окружности;

б) около любой правильной пирамиды можно описать шар;

в) в любую правильную пирамиду можно вписать шар.

а) цилиндр или конус, ось которого проходит через центр шара, пересекает его поверхность по окружности;

Докажем утверждение для каждого тела вращения отдельно.

Случай 1: Цилиндр.

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть также дан прямой круговой цилиндр, ось которого $L$ проходит через центр шара $O$. Радиус основания цилиндра обозначим через $r$. Для того чтобы пересечение существовало, необходимо, чтобы $r \le R$.

Рассмотрим произвольную точку $P$, принадлежащую линии пересечения поверхности шара и боковой поверхности цилиндра.

1. Так как точка $P$ лежит на поверхности шара, ее расстояние до центра $O$ равно радиусу шара: $OP = R$.

2. Так как точка $P$ лежит на боковой поверхности цилиндра, ее расстояние до оси цилиндра $L$ равно радиусу цилиндра: $d(P, L) = r$.

Пусть $O'$ — это проекция точки $P$ на ось $L$. Тогда $PO' = d(P, L) = r$. Треугольник $\triangle OO'P$ является прямоугольным, так как $PO'$ — перпендикуляр к оси $L$, а точка $O$ лежит на этой оси.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OO'P$: $OP^2 = OO'^2 + PO'^2$.
Подставим известные значения: $R^2 = OO'^2 + r^2$.
Отсюда находим расстояние от центра шара $O$ до проекции $O'$: $OO' = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Это расстояние одинаково для всех точек $P$ линии пересечения. Это означает, что все точки пересечения лежат в плоскости (или двух плоскостях), перпендикулярной оси $L$ и отстоящей от центра шара $O$ на расстояние $h = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Пересечение сферы плоскостью есть окружность. Если $r < R$, то существует две таких плоскости (по одну и по другую сторону от экваториальной плоскости шара), и линия пересечения состоит из двух окружностей. Если $r = R$, то плоскость одна ($h=0$), и линия пересечения — одна окружность (большой круг шара).

Таким образом, пересечение поверхности шара и цилиндра является одной или двумя окружностями.

Случай 2: Конус.

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть также дан прямой круговой конус, ось которого $L$ проходит через центр шара $O$. Пусть вершина конуса находится в точке $V$ на оси $L$, а угол между образующей и осью равен $\alpha$.

Рассмотрим произвольную точку $P$, принадлежащую линии пересечения поверхности шара и боковой поверхности конуса.

1. Так как точка $P$ лежит на поверхности шара, ее расстояние до центра $O$ равно $R$: $OP = R$.

2. Так как точка $P$ лежит на поверхности конуса, она лежит на некоторой образующей $VP$. Угол между этой образующей и осью $L$ равен $\alpha$.

Рассмотрим плоскость, содержащую ось $L$ и точку $P$. В этой плоскости лежит треугольник $\triangle OVP$. При вращении этой плоскости вокруг оси $L$ точка $P$ описывает окружность с центром на оси $L$. Докажем, что любая точка этой окружности также принадлежит пересечению.

Пусть $P'$ — любая другая точка на окружности, которую описывает $P$ при вращении вокруг оси $L$.

- Расстояние от $P'$ до центра шара $O$ равно расстоянию от $P$ до $O$, так как обе точки лежат на одной окружности, центр которой находится на оси, проходящей через $O$ (в данном случае ось $L$ и есть ось вращения). Следовательно, $OP' = OP = R$, и точка $P'$ лежит на поверхности шара.

- При вращении вокруг оси $L$ образующая $VP$ "заметает" всю боковую поверхность конуса. Точка $P'$ получена из $P$ поворотом вокруг оси $L$, значит, она также лежит на образующей, полученной поворотом $VP$, и, следовательно, принадлежит поверхности конуса.

Таким образом, все точки окружности, описываемой точкой $P$ при вращении вокруг оси $L$, принадлежат линии пересечения. Сама линия пересечения и есть эта окружность (или несколько окружностей, если, например, вершина конуса находится внутри шара).

Следовательно, пересечение поверхности шара и конуса есть окружность.

Ответ: Утверждение доказано.

б) около любой правильной пирамиды можно описать шар;

Описать шар около многогранника означает найти точку, равноудаленную от всех его вершин. Эта точка будет центром описанного шара.

Пусть дана правильная пирамида $S A_1 A_2 ... A_n$, где $S$ — вершина, а $A_1 A_2 ... A_n$ — правильный многоугольник в основании. Пусть $O$ — центр основания. Тогда прямая $SO$ является осью пирамиды и перпендикулярна плоскости основания.

1. Найдем геометрическое место точек, равноудаленных от всех вершин основания $A_1, A_2, ..., A_n$. Так как основание — правильный многоугольник, его центр $O$ является центром описанной около него окружности. Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от вершин правильного многоугольника, есть прямая, перпендикулярная плоскости этого многоугольника и проходящая через его центр. В нашем случае это ось пирамиды $SO$.

Следовательно, если центр искомого шара существует, он должен лежать на оси $SO$. Обозначим эту точку $C$.

2. Теперь необходимо найти на прямой $SO$ такую точку $C$, которая была бы равноудалена от вершины пирамиды $S$ и от любой вершины основания, например, $A_1$. То есть, должно выполняться условие $CS = CA_1$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек $S$ и $A_1$, — это плоскость, перпендикулярная отрезку $SA_1$ и проходящая через его середину.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $S, O, A_1$. В этой плоскости лежат ось $SO$ и боковое ребро $SA_1$. Пересечение этой плоскости с плоскостью-серединным перпендикуляром к $SA_1$ есть прямая — серединный перпендикуляр к отрезку $SA_1$ в плоскости $\triangle SOA_1$.

Этот серединный перпендикуляр пересечет прямую $SO$ в некоторой точке $C$, за исключением случая, когда он параллелен $SO$. Параллельность возможна только если $SO \perp SA_1$. Но в прямоугольном треугольнике $\triangle SOA_1$ (угол $\angle SOA_1 = 90^\circ$), гипотенуза $SA_1$ не может быть перпендикулярна катету $SO$. Следовательно, пересечение существует и единственно.

Эта точка пересечения $C$ по построению удовлетворяет двум условиям: - Она лежит на оси $SO$, а значит равноудалена от всех вершин основания: $CA_1 = CA_2 = ... = CA_n$. - Она лежит на серединном перпендикуляре к $SA_1$, а значит $CS = CA_1$.

Объединяя эти условия, получаем, что точка $C$ равноудалена от всех вершин пирамиды: $CS = CA_1 = CA_2 = ... = CA_n$. Эта точка является центром шара, описанного около пирамиды.

Ответ: Утверждение доказано.

в) в любую правильную пирамиду можно вписать шар.

Вписать шар в многогранник означает найти точку, равноудаленную от всех его граней. Эта точка будет центром вписанного шара.

Пусть дана правильная пирамида $S A_1 A_2 ... A_n$. Ее грани — это основание $A_1 A_2 ... A_n$ и $n$ боковых граней.

1. В правильной пирамиде все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Геометрическое место точек, равноудаленных от всех боковых граней, — это ось пирамиды $SO$. Это следует из симметрии пирамиды: любая точка на оси $SO$ равноудалена от боковых граней.

Следовательно, если центр искомого шара существует, он должен лежать на оси $SO$. Обозначим эту точку $C$.

2. Теперь необходимо найти на прямой $SO$ такую точку $C$, которая была бы равноудалена от плоскости основания и от любой боковой грани.

- Расстояние от точки $C$, лежащей на оси $SO$, до плоскости основания равно длине отрезка $CO$.

- Для нахождения расстояния до боковой грани, проведем апофему (высоту боковой грани) $SM$, где $M$ — середина ребра основания $A_1A_2$. Треугольник $\triangle SOM$ — прямоугольный ($\angle SOM = 90^\circ$) и лежит в плоскости, перпендикулярной боковой грани $SA_1A_2$. Расстояние от точки $C$ на $SO$ до плоскости грани $SA_1A_2$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $C$ на апофему $SM$.

Рассмотрим двугранный угол при ребре основания $A_1A_2$. Его линейным углом является угол $\angle SMO$. Геометрическое место точек внутри этого угла, равноудаленных от его граней (плоскости основания и плоскости боковой грани), является биссектрисой этого угла.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью треугольника $\triangle SOM$. Нам нужно найти точку $C$ на катете $SO$, которая равноудалена от катета $OM$ (лежащего в плоскости основания) и гипотенузы $SM$ (лежащей в плоскости боковой грани). Такая точка лежит на биссектрисе угла $\angle SMO$.

Эта биссектриса, проведенная из вершины $M$ треугольника $\triangle SOM$, пересечет противолежащую сторону $SO$ в некоторой точке $C$. Эта точка и будет искомой.

Точка $C$ по построению удовлетворяет двум условиям: - Она лежит на оси $SO$, а значит равноудалена от всех боковых граней. - Она равноудалена от плоскости основания и от одной из боковых граней.

Следовательно, точка $C$ равноудалена от всех граней пирамиды (от основания и всех боковых граней). Эта точка является центром шара, вписанного в пирамиду.

Ответ: Утверждение доказано.