Номер 327, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

327. Образующая конуса равна $l$ и составляет с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите поверхность и объем описанного шара.

Для решения задачи сначала найдем радиус $R$ описанного шара. Шар называется описанным около конуса, если его поверхность проходит через вершину конуса и окружность его основания.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей $l$, и углами при основании, равными $\alpha$. Сечением шара является большая окружность, которая описана около этого равнобедренного треугольника. Радиус этой окружности, $R$, и является радиусом описанного шара.

Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся расширенной теоремой синусов для треугольника. Согласно этой теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$).

В нашем равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $l$, а угол, противолежащий этой стороне, — это угол при основании, который равен $\alpha$. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$\frac{l}{\sin\alpha} = 2R$

Из этого соотношения выразим радиус шара $R$:

$R = \frac{l}{2\sin\alpha}$

Теперь, зная радиус шара, мы можем найти его поверхность и объем.

Поверхность описанного шара

Площадь поверхности шара (сферы) вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Подставим в эту формулу найденное выражение для радиуса $R$:

$S = 4\pi \left(\frac{l}{2\sin\alpha}\right)^2 = 4\pi \frac{l^2}{4\sin^2\alpha} = \frac{\pi l^2}{\sin^2\alpha}$

Ответ: $S = \frac{\pi l^2}{\sin^2\alpha}$

Объем описанного шара

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим в эту формулу найденное выражение для радиуса $R$:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{l}{2\sin\alpha}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{l^3}{8\sin^3\alpha} = \frac{4\pi l^3}{24\sin^3\alpha} = \frac{\pi l^3}{6\sin^3\alpha}$

Ответ: $V = \frac{\pi l^3}{6\sin^3\alpha}$