Номер 334, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

334. В правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна 4 см, вписан шар. Найдите объем пирамиды, учитывая, что радиус шара равен 1 см.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды используется формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Так как пирамида правильная четырехугольная, ее основанием является квадрат. Сторона основания по условию равна $a = 4$ см. Вычислим площадь основания: $S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$ см².

Теперь необходимо найти высоту пирамиды $H$. Для этого воспользуемся информацией о вписанном шаре. Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды и равноудален от основания и от всех боковых граней. Расстояние от центра шара до основания (и до боковой грани) равно радиусу шара $r = 1$ см.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее вершину и середины противоположных сторон основания. Это сечение является равнобедренным треугольником. Основание этого треугольника равно стороне основания пирамиды $a=4$ см, высота равна высоте пирамиды $H$, а боковые стороны — это апофемы $h_a$ (высоты боковых граней).

В этот треугольник вписан большой круг шара, радиус которого равен $r = 1$ см. Связь между высотой пирамиды $H$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ и апофемой $h_a$ задается теоремой Пифагора: $h_a^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$.

Для нахождения высоты $H$ можно использовать подобие треугольников в осевом сечении или формулу для радиуса вписанной в треугольник окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, отрезком, соединяющим центр основания с точкой касания вписанной окружности (длина $\frac{a}{2} = 2$ см), и апофемой $h_a$. Угол при основании этого треугольника (между апофемой и основанием) обозначим $\alpha$.

В этом сечении центр вписанного шара является центром вписанной окружности. Расстояние от него до основания равно $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком от центра основания до середины стороны основания (длиной $\frac{a}{2}=2$), отрезком от центра шара до этой же точки, и отрезком высоты пирамиды от основания до центра шара (длиной $r=1$). Нет, это неверный подход.

Правильный подход — через подобие. В осевом сечении рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$, и апофемой $h_a$. Проведем из центра вписанной окружности (который лежит на высоте $H$ на расстоянии $r$ от основания) перпендикуляр к апофеме. Получим меньший подобный треугольник. Высота пирамиды над центром шара равна $H-r$. Этот маленький треугольник с гипотенузой $H-r$ и катетом $r$ подобен большому треугольнику с гипотенузой $h_a$ и катетом $\frac{a}{2}$.

Из подобия треугольников следует отношение: $\frac{H-r}{h_a} = \frac{r}{\frac{a}{2}}$.

Подставим известные значения $r=1$ и $a=4$: $\frac{H-1}{h_a} = \frac{1}{2} \implies 2(H-1) = h_a$.

Мы также знаем, что $h_a = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{H^2 + 2^2} = \sqrt{H^2 + 4}$.

Подставим это в предыдущее уравнение: $2(H-1) = \sqrt{H^2 + 4}$.

Возведем обе части в квадрат (учитывая, что $H-1 > 0$, так как $H > r=1$): $4(H-1)^2 = H^2 + 4$.

$4(H^2 - 2H + 1) = H^2 + 4$.

$4H^2 - 8H + 4 = H^2 + 4$.

$3H^2 - 8H = 0$.

$H(3H - 8) = 0$.

Поскольку $H \ne 0$, получаем: $3H - 8 = 0 \implies H = \frac{8}{3}$ см.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot \frac{8}{3} = \frac{128}{9}$ см³.

Результат можно также представить в виде смешанной дроби: $14 \frac{2}{9}$ см³.

Ответ: $\frac{128}{9}$ см³.