Номер 323, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

323. Найдите объем шара, вписанного в конус, образующая которого равна:

а) b и равна диаметру основания конуса;

б) a и составляет с плоскостью основания угол $\delta$.

Для решения задачи необходимо найти радиус $r$ вписанного в конус шара, а затем вычислить его объем по формуле $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3$. Рассмотрим осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса $2R$, боковые стороны равны образующей $L$, а высота равна высоте конуса $H$. Сечение вписанного шара является окружностью, вписанной в этот треугольник, ее радиус равен радиусу шара $r$.

а) b и равна диаметру основания конуса;

По условию задачи, образующая конуса $L = b$, и она же равна диаметру основания, т.е. $L = 2R$. Из этого условия находим радиус основания конуса:$R = \frac{L}{2} = \frac{b}{2}$.

Далее найдем высоту конуса $H$. В осевом сечении высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$.$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{b^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{b^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{3b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{3}}{2}$.

Радиус $r$ шара (вписанной в осевое сечение окружности) можно найти по формуле $r = \frac{S}{s}$, где $S$ — площадь осевого сечения, а $s$ — его полупериметр. Площадь осевого сечения $S = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H = \frac{b}{2} \cdot \frac{b\sqrt{3}}{2} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$. Полупериметр осевого сечения $s = \frac{L+L+2R}{2} = L+R = b + \frac{b}{2} = \frac{3b}{2}$. Теперь найдем радиус $r$:$r = \frac{S}{s} = \frac{\frac{b^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3b}{2}} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3b} = \frac{b\sqrt{3}}{6}$.

Наконец, вычисляем объем шара:$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{b\sqrt{3}}{6}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{b^3 (\sqrt{3})^3}{6^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{3\sqrt{3} b^3}{216} = \frac{4\pi\sqrt{3} b^3}{216} = \frac{\pi b^3\sqrt{3}}{54}$.
Ответ: $V = \frac{\pi b^3\sqrt{3}}{54}$.

б) a и составляет с плоскостью основания угол δ.

По условию, образующая конуса $L = a$, и она составляет с плоскостью основания угол $\delta$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$, угол между $L$ и $R$ как раз равен $\delta$. Выразим $R$ и $H$ через $a$ и $\delta$:
$R = L \cos\delta = a \cos\delta$
$H = L \sin\delta = a \sin\delta$

Для нахождения радиуса $r$ вписанного шара воспользуемся тригонометрическим соотношением в осевом сечении. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания $R$, радиусом шара $r$ (как катетами) и частью биссектрисы угла при основании. Угол между этой биссектрисой и основанием равен $\frac{\delta}{2}$. Из этого треугольника получаем:$\tan\left(\frac{\delta}{2}\right) = \frac{r}{R}$.
Отсюда выражаем радиус шара:$r = R \tan\left(\frac{\delta}{2}\right) = a \cos\delta \tan\left(\frac{\delta}{2}\right)$.

Теперь вычисляем объем шара:$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(a \cos\delta \tan\left(\frac{\delta}{2}\right)\right)^3 = \frac{4}{3}\pi a^3 \cos^3\delta \tan^3\left(\frac{\delta}{2}\right)$.
Ответ: $V = \frac{4}{3}\pi a^3 \cos^3\delta \tan^3\left(\frac{\delta}{2}\right)$.