Номер 324, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

324. В конус с углом $\alpha$ при вершине осевого сечения и радиусом основания $r$ вписан шар с радиусом $R$. Найдите:

a) $r$ как функцию $R$ и $\alpha$;

б) $R$ как функцию $r$ и $\alpha$;

в) $\alpha$ как функцию $R$ и $r$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при вершине и основанием, равным диаметру основания конуса ($2r$). В этот треугольник вписана окружность, которая является большим кругом вписанного шара. Радиус этой окружности равен радиусу шара $R$.

Пусть осевое сечение — это треугольник $SAB$ с вершиной $S$ и основанием $AB$. Высота конуса $SO$ является также высотой, медианой и биссектрисой треугольника $SAB$. Центр вписанного шара $C$ лежит на высоте $SO$. Радиус основания конуса $OA = r$. Радиус вписанного шара $CO = R$ (так как шар касается основания конуса в его центре $O$).

Высота $SO$ делит угол при вершине $\angle ASB = \alpha$ пополам, поэтому $\angle ASO = \frac{\alpha}{2}$. В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому угол $\angle SAO = 90^\circ - \angle ASO = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Следовательно, отрезок $AC$ является биссектрисой угла $\angle SAO$. Поэтому $\angle CAO = \frac{1}{2}\angle SAO = \frac{1}{2}(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle COA$ (прямой угол при вершине $O$). Катеты этого треугольника равны $OA=r$ и $OC=R$. Из определения тангенса угла имеем:

$\tan(\angle CAO) = \frac{OC}{OA} = \frac{R}{r}$

Подставляя выражение для угла $\angle CAO$, получаем основное соотношение, связывающее $r$, $R$ и $\alpha$:

$\frac{R}{r} = \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Теперь, используя это соотношение, найдем требуемые функции.

а) $r$ как функцию $R$ и $\alpha$

Из основного соотношения выразим $r$:

$r = \frac{R}{\tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})}$

Используя тригонометрическое тождество $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$, получаем:

$r = R \cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Также можно использовать тождество $\cot(x) = \tan(90^\circ - x)$. Тогда $\cot(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) = \tan(90^\circ - (45^\circ - \frac{\alpha}{4})) = \tan(45^\circ + \frac{\alpha}{4})$.

Таким образом, формула для $r$ принимает более простой вид:

$r = R \tan(45^\circ + \frac{\alpha}{4})$

Ответ: $r = R \tan(45^\circ + \frac{\alpha}{4})$

б) $R$ как функцию $r$ и $\alpha$

Из основного соотношения $\frac{R}{r} = \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$ напрямую выражаем $R$:

$R = r \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

Ответ: $R = r \tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4})$

в) $\alpha$ как функцию $R$ и $r$

Из основного соотношения $\tan(45^\circ - \frac{\alpha}{4}) = \frac{R}{r}$ выразим $\alpha$. Возьмем арктангенс от обеих частей уравнения:

$45^\circ - \frac{\alpha}{4} = \arctan\left(\frac{R}{r}\right)$

Теперь выразим $\alpha$:

$\frac{\alpha}{4} = 45^\circ - \arctan\left(\frac{R}{r}\right)$

$\alpha = 4 \left(45^\circ - \arctan\left(\frac{R}{r}\right)\right) = 180^\circ - 4\arctan\left(\frac{R}{r}\right)$

Ответ: $\alpha = 180^\circ - 4\arctan\left(\frac{R}{r}\right)$