Номер 361, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

361. Радиус шара равен $R$. Найдите полную поверхность описанного около шара многогранника, учитывая, что этот многогранник является:

а) кубом;

б) правильным октаэдром;

в) правильным тетраэдром.

а) кубом;
Если многогранник, описанный около шара, является кубом, то это означает, что шар вписан в куб. Центр шара совпадает с центром куба, а плоскости граней куба касаются поверхности шара. Расстояние между противоположными гранями куба равно его ребру $a$. Это расстояние также равно диаметру вписанного шара, то есть $2R$.
Следовательно, ребро куба $a = 2R$.
Площадь полной поверхности куба состоит из площадей шести его граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Формула для полной поверхности куба: $S_{пов} = 6a^2$.
Подставим в эту формулу выражение для $a$ через $R$:
$S_{пов} = 6 \cdot (2R)^2 = 6 \cdot 4R^2 = 24R^2$.
Ответ: $24R^2$.

б) правильным октаэдром;
Если многогранник, описанный около шара, является правильным октаэдром, то шар вписан в этот октаэдр. Радиус вписанного шара $R$ связан с длиной ребра октаэдра $a$ соотношением: $R = \frac{a}{\sqrt{6}}$.
Из этой формулы выразим ребро октаэдра $a$ через радиус $R$: $a = R\sqrt{6}$.
Полная поверхность правильного октаэдра состоит из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Тогда площадь полной поверхности октаэдра равна:
$S_{пов} = 8 \cdot S_{\triangle} = 8 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 2a^2\sqrt{3}$.
Теперь подставим выражение для $a$ через $R$:
$S_{пов} = 2 \cdot (R\sqrt{6})^2 \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot (6R^2) \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3}R^2$.
Ответ: $12\sqrt{3}R^2$.

в) правильным тетраэдром.
Если многогранник, описанный около шара, является правильным тетраэдром, то шар вписан в этот тетраэдр. Радиус вписанного шара $R$ и длина ребра тетраэдра $a$ связаны соотношением: $R = \frac{a}{2\sqrt{6}}$.
Выразим ребро тетраэдра $a$ через радиус $R$: $a = 2R\sqrt{6}$.
Полная поверхность правильного тетраэдра состоит из четырех граней, каждая из которых — равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника: $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Площадь полной поверхности тетраэдра:
$S_{пов} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$.
Подставим в формулу выражение для $a$ через $R$:
$S_{пов} = (2R\sqrt{6})^2 \cdot \sqrt{3} = (4R^2 \cdot 6) \cdot \sqrt{3} = 24\sqrt{3}R^2$.
Ответ: $24\sqrt{3}R^2$.