Номер 360, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

360. Найдите радиус шара:

а) вписанного в правильный тетраэдр с ребром $a$;

б) описанного около правильного тетраэдра с ребром $a$.

а) вписанного в правильный тетраэдр с ребром a;

Пусть дан правильный тетраэдр с ребром a. Центры вписанной и описанной сфер для правильного тетраэдра совпадают и лежат на его высоте. Найдём радиус вписанной сферы r.

Радиус вписанной сферы можно найти по формуле $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где V — объём тетраэдра, а $S_{полн}$ — площадь его полной поверхности.

1. Найдём площадь полной поверхности тетраэдра. Тетраэдр состоит из четырёх одинаковых равносторонних треугольников со стороной a. Площадь одного такого треугольника равна $S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$.

2. Найдём объём тетраэдра. Объём тетраэдра (как и любой пирамиды) вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а H — высота тетраэдра.
Площадь основания $S_{осн} = S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Найдём высоту тетраэдра H. Основание высоты, опущенной из вершины тетраэдра, совпадает с центром основания (центроидом равностороннего треугольника). Расстояние от вершины основания до его центра равно радиусу описанной около основания окружности: $R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Высоту H найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного ребром тетраэдра a (гипотенуза), высотой H и радиусом $R_{осн}$ (катеты):
$H^2 = a^2 - R_{осн}^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{3a^2}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$.
$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Теперь можем найти объём:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3\sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

3. Подставляем найденные значения V и $S_{полн}$ в формулу для радиуса вписанной сферы:
$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}{a^2\sqrt{3}} = \frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{4}}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$.

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{6}}{12}$.

б) описанного около правильного тетраэдра с ребром a.

Найдём радиус описанной сферы R. Как было сказано ранее, центр описанной сферы совпадает с центром вписанной и лежит на высоте тетраэдра H.

Радиус описанной сферы R — это расстояние от центра тетраэдра до любой его вершины. Радиус вписанной сферы r — это расстояние от центра до центра любой грани.
Высота тетраэдра H соединяет вершину с центром противоположной грани. Центр сферы делит высоту на два отрезка, больший из которых равен радиусу описанной сферы R, а меньший — радиусу вписанной сферы r. Таким образом, $H = R + r$.

Из пункта а) мы знаем высоту $H = \frac{a\sqrt{6}}{3}$ и радиус вписанной сферы $r = \frac{a\sqrt{6}}{12}$.
Тогда радиус описанной сферы равен:
$R = H - r = \frac{a\sqrt{6}}{3} - \frac{a\sqrt{6}}{12} = a\sqrt{6} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{12}\right) = a\sqrt{6} \left(\frac{4-1}{12}\right) = a\sqrt{6} \cdot \frac{3}{12} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Также можно отметить, что для правильного тетраэдра центр сферы делит высоту в отношении $3:1$, считая от вершины, поэтому $R = \frac{3}{4}H$ и $r = \frac{1}{4}H$. Проверим это:
$R = \frac{3}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.
$r = \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$.
Результаты совпадают.

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.