Номер 365, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

365. Найдите площадь сечения куба с ребром $a$, проходящего через диагонали двух его граней. Рассмотрите все случаи.

Пусть дан куб с ребром $a$. Длина диагонали любой его грани, например, на основании куба, вычисляется по теореме Пифагора и равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Секущая плоскость проходит через диагонали двух граней куба. Чтобы две прямые (диагонали) лежали в одной плоскости, они должны быть либо параллельны, либо пересекаться. Другие случаи, как, например, со скрещивающимися диагоналями, не образуют единственную плоскость. Таким образом, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Рассмотрим две диагонали, лежащие на параллельных гранях куба. Чтобы они были копланарны, они должны быть параллельны. Например, возьмем диагональ $AC$ на нижнем основании $ABCD$ и диагональ $A_1C_1$ на верхнем основании $A_1B_1C_1D_1$. Эти диагонали параллельны и равны.

Плоскость, проходящая через эти две параллельные прямые, образует сечение $ACC_1A_1$. Эта фигура является прямоугольником, так как боковые ребра куба ($AA_1$ и $CC_1$) перпендикулярны основаниям, а значит, и диагоналям, лежащим в этих основаниях.

Стороны этого прямоугольника — это диагональ грани $AC$ и ребро куба $AA_1$. Их длины равны $a\sqrt{2}$ и $a$ соответственно.

Площадь этого сечения равна произведению его сторон: $S_1 = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$.
Ответ: $a^2\sqrt{2}$.

Рассмотрим две диагонали, лежащие на смежных гранях. Чтобы они лежали в одной плоскости, они должны пересекаться. Это возможно, если они выходят из одной общей вершины. Например, рассмотрим диагональ $AC$ грани $ABCD$ и диагональ $AD_1$ грани $ADD_1A_1$. Они обе выходят из вершины $A$ и пересекаются в ней.

Секущая плоскость проходит через точки $A, C$ и $D_1$. Таким образом, сечением является треугольник $ACD_1$. Найдем длины сторон этого треугольника. Сторона $AC$ является диагональю грани $ABCD$, её длина равна $a\sqrt{2}$. Сторона $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$, её длина также равна $a\sqrt{2}$. Сторона $CD_1$ является диагональю грани $CDD_1C_1$, и её длина тоже равна $a\sqrt{2}$.

Следовательно, треугольник $ACD_1$ является равносторонним со стороной $s = a\sqrt{2}$.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим значение длины стороны: $S_2 = \frac{(a\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.