Номер 371, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

371. В правильном тетраэдре $h$ — высота, $l$ — ребро, а $k$ — расстояние между центрами его граней. Выразите:

a) $l$ через $h$;

б) $k$ через $l$.

а) l через h

В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, а высота, опущенная из любой вершины, падает в центр противоположной грани (центроид).

Пусть ребро тетраэдра равно $l$, а высота равна $h$. Рассмотрим высоту $DO$, опущенную из вершины $D$ на основание $ABC$. Точка $O$ является центром равностороннего треугольника $ABC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADO$. Гипотенуза $AD$ является ребром тетраэдра, поэтому $AD = l$. Катет $DO$ — это высота тетраэдра, $DO = h$. Второй катет $AO$ — это расстояние от вершины основания $A$ до его центра $O$, что равно радиусу $R$ описанной около треугольника $ABC$ окружности.

Для равностороннего треугольника со стороной $l$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле: $R = \frac{l}{\sqrt{3}}$

Таким образом, $AO = \frac{l}{\sqrt{3}}$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ADO$: $AD^2 = AO^2 + DO^2$

Подставим известные выражения: $l^2 = \left(\frac{l}{\sqrt{3}}\right)^2 + h^2$ $l^2 = \frac{l^2}{3} + h^2$

Теперь выразим $l$ через $h$. Сначала выразим $h^2$: $h^2 = l^2 - \frac{l^2}{3} = \frac{3l^2 - l^2}{3} = \frac{2l^2}{3}$

Из этого соотношения выразим $l^2$: $l^2 = \frac{3h^2}{2}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $l = \sqrt{\frac{3}{2}}h = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}h = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}h = \frac{\sqrt{6}}{2}h$

Ответ: $l = \frac{\sqrt{6}}{2}h$

б) k через l

Параметр $k$ — это расстояние между центрами двух граней тетраэдра. Центр грани, являющейся равносторонним треугольником, — это точка пересечения её медиан (центроид).

Рассмотрим две смежные грани тетраэдра, например, $ABC$ и $DBC$. Пусть $O_1$ — центр грани $ABC$, а $O_2$ — центр грани $DBC$. Нам нужно найти расстояние $k = O_1O_2$.

Пусть $M$ — середина общего ребра $BC$. Тогда отрезки $AM$ и $DM$ являются медианами (а также высотами и биссектрисами) в треугольниках $ABC$ и $DBC$ соответственно.

Центр грани $O_1$ лежит на медиане $AM$, а центр $O_2$ — на медиане $DM$. По свойству медиан, они делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно: $MO_1 = \frac{1}{3}AM$ $MO_2 = \frac{1}{3}DM$

Рассмотрим треугольник $ADM$. Точки $O_1$ и $O_2$ лежат на его сторонах $AM$ и $DM$. Так как отношение $\frac{MO_1}{AM} = \frac{MO_2}{DM} = \frac{1}{3}$, то по обобщённой теореме Фалеса, треугольник $MO_1O_2$ подобен треугольнику $MAD$ с коэффициентом подобия $1/3$.

Из подобия следует, что сторона $O_1O_2$ параллельна стороне $AD$ и её длина в 3 раза меньше: $O_1O_2 = \frac{1}{3}AD$

Так как $AD$ — это ребро тетраэдра, его длина равна $l$. Таким образом, искомое расстояние $k$ равно: $k = \frac{1}{3}l$

Ответ: $k = \frac{l}{3}$