Номер 378, страница 117 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

378. В цилиндр, высота которого равна $h$, вписан такой октаэдр, что две его вершины являются центрами оснований цилиндра. Определите, при каких условиях октаэдр будет правильным, и найдите его ребро.

При каких условиях октаэдр будет правильным

Октаэдр представляет собой две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные основаниями. Пусть высота цилиндра равна $h$, а радиус его основания — $r$.

По условию, две вершины октаэдра являются центрами оснований цилиндра. Расстояние между этими вершинами равно высоте цилиндра $h$. Эта линия является одной из трех главных диагоналей октаэдра.

Остальные четыре вершины октаэдра лежат в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра и проходящей через ее середину. Эти четыре вершины образуют квадрат, вписанный в сечение цилиндра. Диагонали этого квадрата являются двумя другими главными диагоналями октаэдра.

Для того чтобы октаэдр был правильным (то есть все его 12 ребер были равны), необходимо, чтобы все три его главные диагонали были равны по длине.

Длина первой диагонали (совпадающей с осью цилиндра) равна $h$.

Две другие диагонали — это диагонали квадрата, вписанного в окружность радиуса $r$. Длина каждой из этих диагоналей равна диаметру этой окружности, то есть $2r$.

Следовательно, для того чтобы октаэдр был правильным, должно выполняться условие:

$h = 2r$

Это означает, что высота цилиндра должна быть равна диаметру его основания.

Ответ: Октаэдр будет правильным, если высота цилиндра равна диаметру его основания ($h=2r$).

Найдите его ребро

Пусть ребро правильного октаэдра равно $a$. Рассмотрим одну из двух пирамид, образующих октаэдр. Ее вершина — один из центров оснований цилиндра, а основание — квадрат, лежащий в среднем сечении цилиндра. Высота этой пирамиды равна половине высоты цилиндра, то есть $h/2$.

Ребро $a$ является боковым ребром этой пирамиды. Оно образует прямоугольный треугольник с высотой пирамиды ($h/2$) и половиной диагонали основания пирамиды. Половина диагонали основания равна радиусу цилиндра $r$.

По теореме Пифагора:

$a^2 = (\frac{h}{2})^2 + r^2$

Из условия правильности октаэдра, найденного в предыдущем пункте, мы знаем, что $r = \frac{h}{2}$. Подставим это значение в формулу:

$a^2 = (\frac{h}{2})^2 + (\frac{h}{2})^2 = 2 \cdot \frac{h^2}{4} = \frac{h^2}{2}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим длину ребра $a$:

$a = \sqrt{\frac{h^2}{2}} = \frac{h}{\sqrt{2}} = \frac{h\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $a = \frac{h\sqrt{2}}{2}$.