Номер 377, страница 117 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

377. Ребро правильного октаэдра равно $a$. Найдите расстояние между центрами двух его граней. Рассмотрите все возможные случаи.

Правильный октаэдр — это выпуклый многогранник, все восемь граней которого являются равносторонними треугольниками. Все 12 рёбер правильного октаэдра имеют одинаковую длину $a$. Для нахождения расстояния между центрами граней удобно воспользоваться координатным методом. Поместим центр октаэдра в начало координат $O(0, 0, 0)$. Тогда его шесть вершин будут иметь координаты: $V_1(\frac{a}{\sqrt{2}}, 0, 0)$, $V_2(-\frac{a}{\sqrt{2}}, 0, 0)$, $V_3(0, \frac{a}{\sqrt{2}}, 0)$, $V_4(0, -\frac{a}{\sqrt{2}}, 0)$, $V_5(0, 0, \frac{a}{\sqrt{2}})$, $V_6(0, 0, -\frac{a}{\sqrt{2}})$. Центр грани (равностороннего треугольника) совпадает с её центроидом, и его координаты можно найти как среднее арифметическое координат вершин этой грани.

Существует три различных варианта взаимного расположения двух граней октаэдра, которые определяют три различных расстояния между их центрами.

1. Расстояние между центрами смежных граней
Смежные грани имеют общее ребро. Возьмём, к примеру, грань $F_1$, образованную вершинами $V_1, V_3, V_5$, и грань $F_2$, образованную вершинами $V_1, V_4, V_5$. Эти грани имеют общее ребро $V_1V_5$. Найдём координаты их центров $C_1$ и $C_2$. Центр $C_1$ грани $F_1(V_1, V_3, V_5)$: $C_1 = (\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}+0+0}{3}, \frac{0+\frac{a}{\sqrt{2}}+0}{3}, \frac{0+0+\frac{a}{\sqrt{2}}}{3}) = (\frac{a}{3\sqrt{2}}, \frac{a}{3\sqrt{2}}, \frac{a}{3\sqrt{2}})$ Центр $C_2$ грани $F_2(V_1, V_4, V_5)$: $C_2 = (\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}+0+0}{3}, \frac{0-\frac{a}{\sqrt{2}}+0}{3}, \frac{0+0+\frac{a}{\sqrt{2}}}{3}) = (\frac{a}{3\sqrt{2}}, -\frac{a}{3\sqrt{2}}, \frac{a}{3\sqrt{2}})$ Теперь найдём расстояние $d_1$ между точками $C_1$ и $C_2$: $d_1^2 = (\frac{a}{3\sqrt{2}} - \frac{a}{3\sqrt{2}})^2 + (\frac{a}{3\sqrt{2}} - (-\frac{a}{3\sqrt{2}}))^2 + (\frac{a}{3\sqrt{2}} - \frac{a}{3\sqrt{2}})^2$ $d_1^2 = 0^2 + (\frac{2a}{3\sqrt{2}})^2 + 0^2 = \frac{4a^2}{9 \cdot 2} = \frac{2a^2}{9}$ $d_1 = \sqrt{\frac{2a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$
Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{3}$.

2. Расстояние между центрами противоположных граней
Противоположные грани параллельны и не имеют общих вершин. Возьмём грань $F_1(V_1, V_3, V_5)$ и противоположную ей грань $F_8(V_2, V_4, V_6)$. Координаты центра $C_1$ мы уже нашли: $C_1 = (\frac{a}{3\sqrt{2}}, \frac{a}{3\sqrt{2}}, \frac{a}{3\sqrt{2}})$. Найдём координаты центра $C_8$ грани $F_8(V_2, V_4, V_6)$: $C_8 = (\frac{-\frac{a}{\sqrt{2}}+0+0}{3}, \frac{0-\frac{a}{\sqrt{2}}+0}{3}, \frac{0+0-\frac{a}{\sqrt{2}}}{3}) = (-\frac{a}{3\sqrt{2}}, -\frac{a}{3\sqrt{2}}, -\frac{a}{3\sqrt{2}})$ Найдём расстояние $d_2$ между точками $C_1$ и $C_8$: $d_2^2 = (\frac{a}{3\sqrt{2}} - (-\frac{a}{3\sqrt{2}}))^2 + (\frac{a}{3\sqrt{2}} - (-\frac{a}{3\sqrt{2}}))^2 + (\frac{a}{3\sqrt{2}} - (-\frac{a}{3\sqrt{2}}))^2$ $d_2^2 = (\frac{2a}{3\sqrt{2}})^2 + (\frac{2a}{3\sqrt{2}})^2 + (\frac{2a}{3\sqrt{2}})^2 = 3 \cdot (\frac{2a}{3\sqrt{2}})^2 = 3 \cdot \frac{4a^2}{18} = \frac{2a^2}{3}$ $d_2 = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

3. Расстояние между центрами граней, имеющих одну общую вершину
Этот случай рассматривает грани, которые не являются ни смежными, ни противоположными. Такие грани имеют одну общую вершину. Возьмём грань $F_1(V_1, V_3, V_5)$ и грань $F_4(V_2, V_4, V_5)$. Они имеют общую вершину $V_5$. Координаты центра $C_1$: $C_1 = (\frac{a}{3\sqrt{2}}, \frac{a}{3\sqrt{2}}, \frac{a}{3\sqrt{2}})$. Найдём координаты центра $C_4$ грани $F_4(V_2, V_4, V_5)$: $C_4 = (\frac{-\frac{a}{\sqrt{2}}+0+0}{3}, \frac{0-\frac{a}{\sqrt{2}}+0}{3}, \frac{0+0+\frac{a}{\sqrt{2}}}{3}) = (-\frac{a}{3\sqrt{2}}, -\frac{a}{3\sqrt{2}}, \frac{a}{3\sqrt{2}})$ Найдём расстояние $d_3$ между точками $C_1$ и $C_4$: $d_3^2 = (\frac{a}{3\sqrt{2}} - (-\frac{a}{3\sqrt{2}}))^2 + (\frac{a}{3\sqrt{2}} - (-\frac{a}{3\sqrt{2}}))^2 + (\frac{a}{3\sqrt{2}} - \frac{a}{3\sqrt{2}})^2$ $d_3^2 = (\frac{2a}{3\sqrt{2}})^2 + (\frac{2a}{3\sqrt{2}})^2 + 0^2 = 2 \cdot (\frac{2a}{3\sqrt{2}})^2 = 2 \cdot \frac{4a^2}{18} = \frac{4a^2}{9}$ $d_3 = \sqrt{\frac{4a^2}{9}} = \frac{2a}{3}$
Ответ: $\frac{2a}{3}$.