Номер 373, страница 117 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

373. Докажите, что центры граней правильного:

a) октаэдра являются вершинами куба;

б) тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра;

в) куба являются вершинами правильного октаэдра;

г) додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра;

д) икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.

а) Рассмотрим правильный октаэдр, центр которого совпадает с началом декартовой системы координат. Вершины октаэдра можно расположить в точках $(\pm a, 0, 0)$, $(0, \pm a, 0)$, $(0, 0, \pm a)$ для некоторого $a > 0$. Грани октаэдра — это 8 правильных треугольников. Найдём центр одной из граней, например, той, что образована вершинами $(a, 0, 0)$, $(0, a, 0)$ и $(0, 0, a)$. Центр грани (центроид треугольника) — это среднее арифметическое координат её вершин: $C = (\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+a+0}{3}, \frac{0+0+a}{3}) = (\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a}{3})$. В силу симметрии октаэдра относительно координатных плоскостей, центры всех восьми граней будут иметь координаты, получаемые всеми возможными комбинациями знаков: $(\pm \frac{a}{3}, \pm \frac{a}{3}, \pm \frac{a}{3})$. Эти 8 точек являются вершинами куба с центром в начале координат и длиной ребра $s = 2 \cdot \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$. Таким образом, центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Правильный тетраэдр имеет 4 грани, являющиеся правильными треугольниками. Центры этих 4 граней образуют вершины нового многогранника. Расположим правильный тетраэдр в системе координат так, чтобы его вершины совпадали с четырьмя не смежными вершинами куба. Пусть вершины куба имеют координаты $(\pm c, \pm c, \pm c)$. Тогда вершины тетраэдра можно задать как $V_1(c, c, c)$, $V_2(c, -c, -c)$, $V_3(-c, c, -c)$, $V_4(-c, -c, c)$. Найдём центры граней тетраэдра. Например, центр грани $F_1$, образованной вершинами $V_2, V_3, V_4$: $C_1 = (\frac{c-c-c}{3}, \frac{-c+c-c}{3}, \frac{-c-c+c}{3}) = (-\frac{c}{3}, -\frac{c}{3}, -\frac{c}{3})$. Аналогично для других граней: $C_2$ (грань $V_1V_3V_4$) имеет координаты $(-\frac{c}{3}, \frac{c}{3}, \frac{c}{3})$. $C_3$ (грань $V_1V_2V_4$) имеет координаты $(\frac{c}{3}, -\frac{c}{3}, \frac{c}{3})$. $C_4$ (грань $V_1V_2V_3$) имеет координаты $(\frac{c}{3}, \frac{c}{3}, -\frac{c}{3})$. Чтобы доказать, что полученный многогранник с вершинами $C_1, C_2, C_3, C_4$ является правильным тетраэдром, нужно показать, что расстояния между любыми двумя его вершинами равны. Найдём квадрат расстояния между $C_1$ и $C_2$: $d(C_1, C_2)^2 = (-\frac{c}{3} - (-\frac{c}{3}))^2 + (-\frac{c}{3} - \frac{c}{3})^2 + (-\frac{c}{3} - \frac{c}{3})^2 = 0 + (-\frac{2c}{3})^2 + (-\frac{2c}{3})^2 = \frac{8c^2}{9}$. В силу симметрии, расстояние между любыми двумя из четырёх точек $C_1, C_2, C_3, C_4$ будет одинаковым и равным $\frac{2\sqrt{2}c}{3}$. Следовательно, эти точки являются вершинами другого правильного тетраэдра.
Ответ: Утверждение доказано.

в) Куб имеет 6 квадратных граней. Центры этих 6 граней образуют вершины нового многогранника. Расположим куб с центром в начале координат и рёбрами, параллельными осям. Пусть длина ребра куба равна $2b$. Тогда его вершины находятся в точках $(\pm b, \pm b, \pm b)$. Грани куба лежат в плоскостях $x = \pm b, y = \pm b, z = \pm b$. Центр грани, лежащей в плоскости $x=b$, имеет координаты $(b, 0, 0)$. Соответственно, центры шести граней куба находятся в точках: $(\pm b, 0, 0)$, $(0, \pm b, 0)$, $(0, 0, \pm b)$. Эти 6 точек являются вершинами правильного октаэдра с центром в начале координат. Длина ребра этого октаэдра (расстояние между соседними вершинами, например, $(b,0,0)$ и $(0,b,0)$) равна $\sqrt{(b-0)^2 + (0-b)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{2b^2} = b\sqrt{2}$. Все 12 рёбер имеют одинаковую длину, а 8 граней являются правильными треугольниками.
Ответ: Утверждение доказано.

г) Правильный додекаэдр имеет 12 граней (правильные пятиугольники), 20 вершин и 30 рёбер. Центры его 12 граней образуют 12 вершин нового многогранника, что соответствует числу вершин икосаэдра. Доказательство основано на свойствах симметрии. 1. Пусть додекаэдр имеет центр в точке $O$. Центры всех его 12 граней равноудалены от $O$ (лежат на вписанной сфере), следовательно, вершины нового многогранника лежат на сфере. 2. Рёбра нового многогранника соединяют центры смежных граней додекаэдра. Так как все рёбра правильного додекаэдра равны, а двугранные углы при рёбрах одинаковы, то расстояния между центрами любых двух смежных граней равны. Значит, все рёбра нового многогранника имеют одинаковую длину. 3. Грани нового многогранника соответствуют вершинам исходного додекаэдра. В каждой вершине додекаэдра сходятся 3 грани (пятиугольники). Центры этих трёх граней образуют треугольник. В силу симметрии додекаэдра (ось вращения третьего порядка проходит через каждую вершину и центр), этот треугольник является правильным. 4. Таким образом, новый многогранник имеет 12 вершин, все его рёбра равны, а все 20 граней (по числу вершин додекаэдра) являются равными правильными треугольниками. Такой многогранник является правильным икосаэдром.
Ответ: Утверждение доказано.

д) Правильный икосаэдр имеет 20 граней (правильные треугольники), 12 вершин и 30 рёбер. Центры его 20 граней образуют 20 вершин нового многогранника, что соответствует числу вершин додекаэдра. Доказательство аналогично предыдущему пункту. 1. Пусть икосаэдр имеет центр в точке $O$. Центры всех его 20 граней равноудалены от $O$, поэтому вершины нового многогранника лежат на сфере. 2. Рёбра нового многогранника соединяют центры смежных граней икосаэдра. В силу симметрии икосаэдра, все его рёбра и двугранные углы равны, следовательно, все рёбра нового многогранника имеют одинаковую длину. 3. Грани нового многогранника соответствуют вершинам исходного икосаэдра. В каждой вершине икосаэдра сходятся 5 граней (треугольники). Центры этих пяти граней образуют пятиугольник. В силу симметрии икосаэдра (ось вращения пятого порядка проходит через каждую вершину и центр), этот пятиугольник является правильным. 4. Таким образом, новый многогранник имеет 20 вершин, все его рёбра равны, а все 12 граней (по числу вершин икосаэдра) являются равными правильными пятиугольниками. Такой многогранник является правильным додекаэдром.
Ответ: Утверждение доказано.