Номер 370, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

370. Докажите, что отрезки, соединяющие центры граней правильного тетраэдра, равны друг другу.

Пусть дан правильный тетраэдр $ABCD$ с длиной ребра, равной $a$. Это означает, что все его грани ($ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$) являются равными равносторонними треугольниками со стороной $a$, и все его рёбра ($AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$) равны $a$.

Центр грани правильного тетраэдра является точкой пересечения её медиан, биссектрис и высот. Эта точка также является центром описанной и вписанной окружностей для этой грани.

Рассмотрим две любые грани тетраэдра, имеющие общее ребро. Для примера, возьмём грани $ABD$ и $CBD$, которые имеют общее ребро $BD$.

Пусть $O_1$ — центр грани $ABD$, а $O_2$ — центр грани $CBD$.

Пусть $M$ — середина общего ребра $BD$. В треугольнике $ABD$ отрезок $AM$ является медианой. Поскольку треугольник $ABD$ равносторонний, $AM$ также является его высотой и биссектрисой. Аналогично, в треугольнике $CBD$ отрезок $CM$ является медианой, высотой и биссектрисой.

Центр $O_1$ грани $ABD$ лежит на медиане $AM$. По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, $MO_1 = \frac{1}{3}AM$.

Аналогично, центр $O_2$ грани $CBD$ лежит на медиане $CM$, и $MO_2 = \frac{1}{3}CM$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMC$. Точки $O_1$ и $O_2$ лежат на его сторонах $AM$ и $CM$ соответственно. Мы получили следующие соотношения: $$ \frac{MO_1}{AM} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \frac{MO_2}{CM} = \frac{1}{3} $$

Так как треугольники $ABD$ и $CBD$ равны, то их медианы, проведенные к равным сторонам, также равны: $AM = CM$.

Поскольку отношение $\frac{MO_1}{AM} = \frac{MO_2}{CM} = \frac{1}{3}$ и угол $AMC$ является общим для треугольников $AMC$ и $O_1MC_2$, то по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) треугольник $MO_1O_2$ подобен треугольнику $MAC$. Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{3}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия: $$ \frac{O_1O_2}{AC} = k = \frac{1}{3} $$

Отсюда мы можем выразить длину отрезка $O_1O_2$: $$ O_1O_2 = \frac{1}{3}AC $$

Поскольку $AC$ является ребром правильного тетраэдра, его длина равна $a$. Таким образом, длина отрезка, соединяющего центры граней $ABD$ и $CBD$, равна $\frac{a}{3}$.

Так как выбор двух смежных граней был произвольным, этот результат справедлив для любой пары граней. Для любой пары граней с общим ребром, отрезок, соединяющий их центры, будет равен трети длины ребра тетраэдра, не инцидентного ни одной из этих двух граней. А так как все рёбра тетраэдра равны $a$, то и длина любого такого отрезка будет равна $\frac{a}{3}$.

Следовательно, все отрезки, соединяющие центры граней правильного тетраэдра, равны друг другу, так как длина каждого из них равна $\frac{a}{3}$.

Ответ: Утверждение доказано. Все отрезки, соединяющие центры граней правильного тетраэдра, равны между собой и составляют $\frac{1}{3}$ от длины ребра тетраэдра.