Номер 374, страница 117 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

374. Докажите, что двугранный угол правильного тетраэдра вместе с дву-гранным углом правильного октаэдра составляет $180^\circ$.

Для доказательства данного утверждения мы последовательно найдем величины двугранных углов правильного тетраэдра и правильного октаэдра, а затем сложим их.

1. Вычисление двугранного угла правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр — это многогранник, все грани которого являются равными равносторонними треугольниками. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$. Рассмотрим тетраэдр $DABC$. Найдем двугранный угол при ребре $BC$. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями граней $ABC$ и $DBC$.

Проведем в гранях $ABC$ и $DBC$ высоты (они же медианы) $AM$ и $DM$ к общему ребру $BC$. Точка $M$ — середина ребра $BC$. По определению, угол $\angle AMD$ является линейным углом двугранного угла между гранями $ABC$ и $DBC$. Обозначим этот угол $\alpha$.

Длины высот в равносторонних треугольниках со стороной $a$ равны: $AM = DM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Рассмотрим треугольник $AMD$. Его стороны: $AM = DM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$, а сторона $AD$ является ребром тетраэдра, поэтому $AD = a$. Применим к треугольнику $AMD$ теорему косинусов для нахождения угла $\alpha = \angle AMD$: $AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения: $a^2 = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\alpha)$ $a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$ $a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$ $a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a \neq 0$): $1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\alpha)$ $\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1$ $\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$ $\cos(\alpha) = \frac{1}{3}$

Таким образом, двугранный угол правильного тетраэдра $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: Двугранный угол правильного тетраэдра равен $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

2. Вычисление двугранного угла правильного октаэдра

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Его можно представить как две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные основаниями. Пусть длина ребра октаэдра равна $a$.

Найдем двугранный угол между двумя смежными гранями, например, при ребре $AB$. Пусть эти грани — $ABC$ и $ABE$, где $BCDE$ — квадрат, лежащий в "экваториальной" плоскости октаэдра. Проведем в гранях $ABC$ и $ABE$ высоты $CH$ и $EH$ к общему ребру $AB$. Угол $\angle CHE$ — искомый линейный угол двугранного угла. Обозначим его $\beta$.

Так как грани являются равносторонними треугольниками со стороной $a$, их высоты равны: $CH = EH = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отрезок $CE$ соединяет противоположные вершины квадрата $BCDE$ со стороной $a$. Следовательно, $CE$ — диагональ квадрата, и ее длина равна $CE = a\sqrt{2}$.

Рассмотрим треугольник $CHE$. Его стороны: $CH = EH = a \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $CE = a\sqrt{2}$. Применим к треугольнику $CHE$ теорему косинусов для нахождения угла $\beta = \angle CHE$: $CE^2 = CH^2 + EH^2 - 2 \cdot CH \cdot EH \cdot \cos(\beta)$

Подставим известные значения: $(a\sqrt{2})^2 = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\beta)$ $2a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\beta)$ $2a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\beta)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$: $2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\beta)$ $\frac{3}{2} \cos(\beta) = \frac{3}{2} - 2$ $\frac{3}{2} \cos(\beta) = -\frac{1}{2}$ $\cos(\beta) = -\frac{1}{3}$

Таким образом, двугранный угол правильного октаэдра $\beta = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: Двугранный угол правильного октаэдра равен $\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.

3. Доказательство того, что сумма углов равна 180°

Теперь нам нужно доказать, что $\alpha + \beta = 180^\circ$. Сложим найденные значения углов: $\alpha + \beta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$

Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: $\arccos(x) + \arccos(-x) = \pi = 180^\circ$ для любого $x \in [-1, 1]$.

В нашем случае $x = 1/3$, что удовлетворяет условию. Следовательно: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) = 180^\circ$

Таким образом, мы доказали, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра составляет $180^\circ$.

Ответ: $\alpha + \beta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) = 180^\circ$, что и требовалось доказать.