Номер 367, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

367. Найдите угол между ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину и не принадлежат одной грани.

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Это означает, что все 12 ребер октаэдра имеют одинаковую длину. Обозначим длину ребра как $a$.

В каждой вершине октаэдра сходятся четыре ребра. Рассмотрим одну из вершин, назовем ее $S$. Пусть из нее выходят четыре ребра: $SA$, $SB$, $SC$ и $SD$. Вершины $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости и образуют квадрат, который является основанием для двух четырехгранных пирамид, составляющих октаэдр.

Условие задачи просит найти угол между ребрами, которые имеют общую вершину ($S$), но не принадлежат одной грани.

Ребра, имеющие общую вершину $S$ и принадлежащие одной грани, — это смежные ребра. Например, ребра $SA$ и $SB$ лежат в грани $SAB$. Так как грань $SAB$ — равносторонний треугольник со стороной $a$, угол между этими ребрами, $\angle ASB$, равен $60^\circ$.

Ребра, имеющие общую вершину $S$, но не принадлежащие одной грани, — это противолежащие ребра, выходящие из этой вершины. В нашем случае это, например, пара ребер $SA$ и $SC$ (или $SB$ и $SD$).

Чтобы найти угол между ребрами $SA$ и $SC$, рассмотрим треугольник $SAC$. Нам нужно найти угол $\angle ASC$. Две стороны этого треугольника, $SA$ и $SC$, являются ребрами октаэдра, поэтому их длины равны $a$. Следовательно, треугольник $SAC$ является равнобедренным.

Третья сторона, $AC$, является диагональю квадрата $ABCD$. Сторона этого квадрата равна ребру октаэдра $a$, так как, например, $AB$ является стороной равностороннего треугольника (грани) $SAB$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ Следовательно, $AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь у нас есть все три стороны треугольника $SAC$: $SA = a$, $SC = a$ и $AC = a\sqrt{2}$. Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle ASC$, который обозначим как $\alpha$: $AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \cdot SA \cdot SC \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу: $(a\sqrt{2})^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha)$ $2a^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(\alpha)$

Вычтем $2a^2$ из обеих частей уравнения: $0 = -2a^2 \cdot \cos(\alpha)$

Поскольку $a$ — длина ребра и $a \neq 0$, то должно выполняться равенство: $\cos(\alpha) = 0$ Угол в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, косинус которого равен нулю, это $90^\circ$. $\alpha = 90^\circ$.

Таким образом, угол между ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани, равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.