Номер 362, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

362. Укажите, сколько центров симметрии имеет:

а) отрезок;

б) параллелепипед;

в) пара пересекающихся плоскостей;

г) правильная треугольная призма;

д) шестиугольная призма;

е) куб;

ж) правильный тетраэдр;

з) правильный октаэдр;

и) правильный додекаэдр;

к) правильный икосаэдр.

а) Центром симметрии фигуры называется такая точка, относительно которой фигура симметрична самой себе. Для отрезка такой точкой является его середина. Если взять любую точку на отрезке, то симметричная ей точка относительно середины также будет лежать на этом отрезке. Таким образом, у отрезка есть один центр симметрии.
Ответ: 1.

б) Параллелепипед имеет один центр симметрии. Этот центр находится в точке пересечения его диагоналей. Эта точка является серединой каждой из четырёх диагоналей параллелепипеда. Любая точка, принадлежащая параллелепипеду, имеет симметричную ей точку относительно этого центра, которая также принадлежит параллелепипеду.
Ответ: 1.

в) Фигура, состоящая из двух пересекающихся плоскостей, имеет бесконечное множество центров симметрии. Любая точка, лежащая на линии пересечения этих плоскостей, является центром симметрии. Если выбрать любую точку `C` на линии пересечения и любую точку `P` на одной из плоскостей, то точка `P'`, симметричная `P` относительно `C`, также будет лежать на той же плоскости. Следовательно, вся линия пересечения состоит из центров симметрии.
Ответ: бесконечно много.

г) Правильная треугольная призма не имеет центра симметрии. Призма имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда ее основание является центрально-симметричной фигурой. Основание правильной треугольной призмы — правильный треугольник, который не имеет центра симметрии. Например, для любой вершины призмы не существует другой вершины, симметричной ей относительно какой-либо точки.
Ответ: 0.

д) Шестиугольная призма, основанием которой является правильный шестиугольник, имеет один центр симметрии. Правильный шестиугольник — центрально-симметричная фигура. Центр симметрии такой призмы — это середина отрезка, соединяющего центры ее оснований. Это справедливо как для прямой, так и для наклонной призмы.
Ответ: 1.

е) Куб является частным случаем параллелепипеда, поэтому он обладает всеми его свойствами симметрии. Куб имеет один центр симметрии, который является точкой пересечения его диагоналей, а также центром вписанной и описанной сфер.
Ответ: 1.

ж) Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. У него 4 вершины. Если бы центр симметрии существовал, то для каждой вершины должна была бы найтись симметричная ей вершина. Это означало бы, что вершины должны образовывать пары, но у тетраэдра их нечетное количество пар (две пары, 4 вершины). Если рассмотреть геометрический центр тетраэдра, то точка, симметричная любой вершине относительно этого центра, не является вершиной тетраэдра.
Ответ: 0.

з) Правильный октаэдр имеет один центр симметрии. Это один из пяти платоновых тел. Его 6 вершин расположены попарно-симметрично относительно его геометрического центра. Этот центр является точкой пересечения трёх отрезков, соединяющих противоположные вершины. Любая точка октаэдра имеет симметричную ей точку относительно этого центра.
Ответ: 1.

и) Правильный додекаэдр имеет один центр симметрии. Как и другие центрально-симметричные платоновы тела (куб, октаэдр, икосаэдр), он имеет геометрический центр, который и является центром симметрии. Каждая вершина, ребро и грань имеет симметричный элемент относительно этого центра.
Ответ: 1.

к) Правильный икосаэдр имеет один центр симметрии. Его 12 вершин, 30 ребер и 20 граней попарно-симметричны относительно его геометрического центра. Этот центр является единственным центром симметрии икосаэдра.
Ответ: 1.