Номер 251, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

251. Докажите, что вершины двух прямоугольников, которые лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону, принадлежат одной сфере.

Пусть даны два прямоугольника $ABCD$ и $ABEF$, которые имеют общую сторону $AB$ и лежат в разных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Нам необходимо доказать, что все шесть вершин этих прямоугольников ($A, B, C, D, E, F$) лежат на одной сфере.

Для того чтобы доказать, что несколько точек принадлежат одной сфере, достаточно найти точку (центр сферы), равноудаленную от всех этих точек.

Рассмотрим первый прямоугольник $ABCD$. Известно, что вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Центр этой окружности, назовем его $O_1$, является точкой пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Все вершины прямоугольника $A, B, C, D$ равноудалены от точки $O_1$.

Множество всех точек пространства, равноудаленных от вершин прямоугольника $ABCD$, представляет собой прямую, перпендикулярную плоскости прямоугольника $\alpha$ и проходящую через центр его описанной окружности $O_1$. Обозначим эту прямую как $l_1$. Любая точка на прямой $l_1$ может служить центром сферы, проходящей через точки $A, B, C, D$.

Аналогично, для второго прямоугольника $ABEF$, лежащего в плоскости $\beta$, существует центр описанной окружности $O_2$ (точка пересечения диагоналей $AE$ и $BF$). Множество всех точек пространства, равноудаленных от вершин $A, B, E, F$, есть прямая $l_2$, перпендикулярная плоскости $\beta$ и проходящая через точку $O_2$.

Искомый центр сферы, проходящей через все шесть вершин, должен принадлежать одновременно обеим прямым, $l_1$ и $l_2$. Следовательно, мы должны доказать, что прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются.

Рассмотрим общую сторону $AB$. Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Построим плоскость $\gamma$, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную прямой $AB$. Любая точка, лежащая в плоскости $\gamma$, равноудалена от точек $A$ и $B$.

Покажем, что прямые $l_1$ и $l_2$ лежат в этой плоскости $\gamma$. Точка $O_1$ — центр окружности, описанной около $ABCD$. Треугольник $\triangle AO_1B$ является равнобедренным ($AO_1 = BO_1$). Следовательно, медиана $O_1M$ является также высотой, то есть $O_1M \perp AB$. Так как прямая $O_1M$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна $AB$, она лежит в плоскости $\gamma$. Таким образом, точка $O_1$ принадлежит плоскости $\gamma$.

Прямая $l_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, то $l_1 \perp AB$. Таким образом, прямая $l_1$ проходит через точку $O_1 \in \gamma$ и перпендикулярна прямой $AB$. Из этого следует, что вся прямая $l_1$ лежит в плоскости $\gamma$. Аналогичные рассуждения верны и для второго прямоугольника: точка $O_2$ принадлежит плоскости $\gamma$, и вся прямая $l_2$ лежит в плоскости $\gamma$.

Итак, мы установили, что обе прямые $l_1$ и $l_2$ лежат в одной плоскости $\gamma$. Теперь докажем, что они не параллельны. В плоскости $\gamma$ рассмотрим прямые $O_1M$ и $O_2M$. Прямая $O_1M$ лежит в плоскости $\alpha$ (так как точки $O_1$ и $M$ лежат в $\alpha$), а прямая $O_2M$ лежит в плоскости $\beta$. По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны, следовательно, прямые $O_1M$ и $O_2M$ не совпадают и пересекаются в точке $M$.

Внутри плоскости $\gamma$ прямая $l_1$ перпендикулярна прямой $O_1M$ (поскольку $l_1 \perp \alpha$ и $O_1M \subset \alpha$). Аналогично, прямая $l_2$ перпендикулярна прямой $O_2M$. Так как в плоскости $\gamma$ прямые $O_1M$ и $O_2M$ не параллельны, то и перпендикулярные им прямые $l_1$ и $l_2$ также не параллельны. Две непараллельные прямые, лежащие в одной плоскости, обязательно пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку пересечения $O$.

Точка $O$, как точка пересечения $l_1$ и $l_2$, обладает следующими свойствами. Так как $O$ принадлежит прямой $l_1$, она равноудалена от вершин $A, B, C, D$, то есть $OA = OB = OC = OD$. В то же время, так как $O$ принадлежит прямой $l_2$, она равноудалена от вершин $A, B, E, F$, то есть $OA = OB = OE = OF$. Объединяя эти равенства, получаем: $OA = OB = OC = OD = OE = OF$.

Это означает, что существует точка $O$, равноудаленная от всех шести вершин двух прямоугольников. Следовательно, все эти вершины принадлежат одной сфере с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Существование точки, равноудаленной от всех шести вершин, доказывает, что они лежат на одной сфере.