Номер 249, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

249. Через середины радиуса $R$ сферы перпендикулярно к нему проведена секущая плоскость. Найдите:

а) радиус полученного сечения;

б) площадь боковой поверхности и объем конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием — полученное сечение.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $OA$ — один из радиусов этой сферы, $|OA| = R$. По условию, секущая плоскость $\alpha$ проходит через середину радиуса $OA$, назовем эту точку $M$, и перпендикулярна ему.

Таким образом, расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha$ равно длине отрезка $OM$, что составляет половину радиуса: $d = |OM| = \frac{R}{2}$.

Сечением сферы плоскостью является окружность.

а) радиус полученного сечения;

Найдем радиус $r$ этой окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы $O$, центром сечения $M$ и произвольной точкой $P$ на окружности сечения. В этом треугольнике $\triangle OMP$:

• Гипотенуза $OP$ является радиусом сферы, $|OP| = R$.
• Катет $OM$ — это расстояние от центра сферы до секущей плоскости, $|OM| = \frac{R}{2}$.
• Катет $MP$ — это искомый радиус сечения, $|MP| = r$.

По теореме Пифагора: $OM^2 + MP^2 = OP^2$.

Подставим известные значения: $(\frac{R}{2})^2 + r^2 = R^2$

$\frac{R^2}{4} + r^2 = R^2$

$r^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

$r = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$

Ответ: радиус полученного сечения равен $\frac{R\sqrt{3}}{2}$.

б) площадь боковой поверхности и объем конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием — полученное сечение.

Рассмотрим конус, у которого:

• Вершина находится в центре сферы, в точке $O$.
• Основанием является сечение, найденное в пункте а) — окружность радиуса $r = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Определим параметры этого конуса:

• Радиус основания конуса $r_{кон} = r = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.
• Высота конуса $h_{кон}$ — это расстояние от вершины $O$ до плоскости основания, то есть $|OM| = \frac{R}{2}$.
• Образующая конуса $l_{кон}$ — это расстояние от вершины $O$ до любой точки на окружности основания, то есть $|OP| = R$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi \cdot r_{кон} \cdot l_{кон}$.

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} \cdot R = \frac{\pi R^2 \sqrt{3}}{2}$

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi \cdot r_{кон}^2 \cdot h_{кон}$.

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (\frac{R\sqrt{3}}{2})^2 \cdot \frac{R}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3R^2}{4} \cdot \frac{R}{2} = \frac{3 \pi R^3}{24} = \frac{\pi R^3}{8}$

Ответ: площадь боковой поверхности конуса равна $\frac{\pi R^2 \sqrt{3}}{2}$, а объем конуса равен $\frac{\pi R^3}{8}$.