Номер 8, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Сформулируйте утверждение, которое обобщает утверждения о боковых поверхностях конуса, усеченного конуса и цилиндра.

Для того чтобы сформулировать обобщающее утверждение, рассмотрим известные формулы для площадей боковых поверхностей цилиндра, конуса и усеченного конуса. Все эти фигуры являются телами вращения, образованными вращением отрезка (называемого образующей) вокруг некоторой оси.

Исходные формулы:

• Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2\pi R H$, где $R$ – радиус основания, $H$ – высота, которая в данном случае равна длине образующей $L$.
• Площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ – радиус основания, $L$ – длина образующей.
• Площадь боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок} = \pi (R + r) L$, где $R$ и $r$ – радиусы оснований, $L$ – длина образующей.

Обобщающее утверждение, которое объединяет все три формулы (и является частным случаем первой теоремы Паппа — Гюльдена), можно сформулировать следующим образом:

Площадь боковой поверхности тела, полученного вращением отрезка (образующей) вокруг не пересекающей его оси, равна произведению длины этого отрезка на длину окружности, описанной его серединой.

Если обозначить длину образующей как $L$, а расстояние от середины образующей до оси вращения как $r_c$, то длина окружности, описанной серединой образующей, будет $2\pi r_c$. Тогда обобщенная формула площади боковой поверхности примет вид:

$S_{бок} = L \cdot 2\pi r_c$

Давайте проверим справедливость этого утверждения для каждой из трех фигур.

Для цилиндра

Образующая цилиндра — это отрезок длиной $L = H$, который параллелен оси вращения и находится на расстоянии $R$ от нее. Середина этого отрезка также находится на расстоянии $R$ от оси. Таким образом, радиус окружности, описываемой серединой образующей, $r_c = R$.
Подставляя значения в общую формулу, получаем:
$S_{бок} = L \cdot 2\pi r_c = H \cdot 2\pi R = 2\pi R H$.
Полученный результат в точности совпадает с формулой площади боковой поверхности цилиндра.

Для конуса

Образующая конуса — это отрезок длиной $L$. Один его конец находится на оси вращения (в вершине конуса), поэтому его расстояние до оси равно 0. Другой конец находится на окружности основания на расстоянии $R$ от оси. Середина образующей находится на расстоянии, равном полусумме расстояний ее концов от оси вращения: $r_c = \frac{0 + R}{2} = \frac{R}{2}$.
Подставляя значения в общую формулу, получаем:
$S_{бок} = L \cdot 2\pi r_c = L \cdot 2\pi \left(\frac{R}{2}\right) = \pi R L$.
Полученный результат совпадает с формулой площади боковой поверхности конуса.

Для усеченного конуса

Образующая усеченного конуса — это отрезок длиной $L$. Его концы находятся на расстояниях $r$ (радиус меньшего основания) и $R$ (радиус большего основания) от оси вращения. Середина образующей находится на расстоянии $r_c = \frac{r + R}{2}$ от оси вращения.
Подставляя значения в общую формулу, получаем:
$S_{бок} = L \cdot 2\pi r_c = L \cdot 2\pi \left(\frac{r + R}{2}\right) = \pi(R+r)L$.
Полученный результат совпадает с формулой площади боковой поверхности усеченного конуса.

Ответ: Утверждение, обобщающее формулы для площадей боковых поверхностей конуса, усеченного конуса и цилиндра, звучит так: площадь боковой поверхности тела вращения, образованного вращением отрезка (образующей) вокруг оси, равна произведению длины образующей на длину окружности, описанной серединой этой образующей. Математически это можно выразить формулой $S_{бок} = 2 \pi r_c L$, где $L$ — длина образующей, а $r_c$ — расстояние от середины образующей до оси вращения.