Номер 235, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

235. Приняв плотность стали равной $7,8 \text{ г/см}^3$, найдите массу стальной круглой детали, измерения которой в миллиметрах даны на рисунке:

а) 133;

б) 134.

Рис. 133

Рис. 134

Для решения задачи необходимо найти объём каждой детали, а затем, зная плотность стали, вычислить массу по формуле $m = \rho \cdot V$. Плотность стали дана как $\rho = 7,8 \text{ г/см}^3$, поэтому все линейные размеры, указанные на чертежах в миллиметрах, следует перевести в сантиметры ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).

а) Деталь, изображённая на рисунке 133, состоит из двух частей: цилиндра и усечённого конуса. Найдём объём каждой части.

1. Объём цилиндрической части ($V_1$).
Диаметр цилиндра $d_1 = 20 \text{ мм}$, следовательно, его радиус $r_1 = 10 \text{ мм} = 1 \text{ см}$.
Длина (высота) цилиндра $h_1 = 350 \text{ мм} = 35 \text{ см}$.
Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.
$V_1 = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 \cdot 35 \text{ см} = 35\pi \text{ см}^3$.

2. Объём усечённого конуса ($V_2$).
Радиус меньшего основания совпадает с радиусом цилиндра: $r_1 = 1 \text{ см}$.
Диаметр большего основания $d_2 = 40 \text{ мм}$, следовательно, его радиус $R_1 = 20 \text{ мм} = 2 \text{ см}$.
Длина (высота) усечённого конуса $h_2 = 450 \text{ мм} - 350 \text{ мм} = 100 \text{ мм} = 10 \text{ см}$.
Объём усечённого конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$.
$V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 10 \cdot (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2) = \frac{10\pi}{3}(4 + 2 + 1) = \frac{10\pi}{3} \cdot 7 = \frac{70\pi}{3} \text{ см}^3$.

3. Общий объём и масса детали.
Общий объём детали $V_a$ равен сумме объёмов её частей:
$V_a = V_1 + V_2 = 35\pi + \frac{70\pi}{3} = \frac{105\pi + 70\pi}{3} = \frac{175\pi}{3} \text{ см}^3$.
Масса детали $m_a$ равна:
$m_a = \rho \cdot V_a = 7,8 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot \frac{175\pi}{3} \text{ см}^3 = 2,6 \cdot 175\pi = 455\pi \text{ г}$.
Подставляя $\pi \approx 3,1416$, получаем:
$m_a \approx 455 \cdot 3,1416 \approx 1429,4 \text{ г}$.

Ответ: масса детали примерно $1429,4 \text{ г}$ (или $1,429 \text{ кг}$).

б) Деталь, изображённая на рисунке 134, состоит из трёх частей: левого цилиндра, усечённого конуса и правого цилиндра. Найдём объём каждой части.

1. Размеры и объёмы частей.

• Левый цилиндр ($V_1$): диаметр $20 \text{ мм}$ (радиус $r = 1 \text{ см}$), длина $h_1 = 120 \text{ мм} = 12 \text{ см}$.
  $V_1 = \pi r^2 h_1 = \pi \cdot 1^2 \cdot 12 = 12\pi \text{ см}^3$.
• Правый цилиндр ($V_2$): диаметр $40 \text{ мм}$ (радиус $R = 2 \text{ см}$), длина $h_2 = 40 \text{ мм} = 4 \text{ см}$.
  $V_2 = \pi R^2 h_2 = \pi \cdot 2^2 \cdot 4 = 16\pi \text{ см}^3$.
• Усечённый конус ($V_3$): радиусы оснований $r = 1 \text{ см}$ и $R = 2 \text{ см}$. Его длина (высота) $h_3$ равна общей длине за вычетом длин цилиндров: $h_3 = 200 - 120 - 40 = 40 \text{ мм} = 4 \text{ см}$.
  $V_3 = \frac{1}{3}\pi h_3(R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2) = \frac{4\pi}{3}(7) = \frac{28\pi}{3} \text{ см}^3$.

2. Общий объём и масса детали.
Общий объём детали $V_b$ равен сумме объёмов её частей:
$V_b = V_1 + V_2 + V_3 = 12\pi + 16\pi + \frac{28\pi}{3} = 28\pi + \frac{28\pi}{3} = \frac{84\pi + 28\pi}{3} = \frac{112\pi}{3} \text{ см}^3$.
Масса детали $m_b$ равна:
$m_b = \rho \cdot V_b = 7,8 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot \frac{112\pi}{3} \text{ см}^3 = 2,6 \cdot 112\pi = 291,2\pi \text{ г}$.
Подставляя $\pi \approx 3,1416$, получаем:
$m_b \approx 291,2 \cdot 3,1416 \approx 914,8 \text{ г}$.

Ответ: масса детали примерно $914,8 \text{ г}$ (или $0,915 \text{ кг}$).