Номер 228, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

228. В треугольную пирамиду с равными ребрами вписан конус, и около этой пирамиды описан конус. Определите, во сколько раз полная поверхность описанного конуса больше полной поверхности вписанного конуса.

Рис. 130

Пусть дана треугольная пирамида с равными ребрами. Такая пирамида является правильным тетраэдром. Обозначим длину ребра тетраэдра как $a$.

Вписанный и описанный конусы имеют общую вершину, совпадающую с вершиной тетраэдра, и их общая высота $H$ равна высоте тетраэдра. Их основания лежат в плоскости основания тетраэдра.

Формула для площади полной поверхности конуса: $S = \pi R (R + L)$, где $R$ — радиус основания, а $L$ — длина образующей.

Найдем параметры описанного и вписанного конусов.

1. Описанный конус.

Основанием описанного конуса является окружность, описанная около основания тетраэдра. Основание тетраэдра — равносторонний треугольник со стороной $a$.
Радиус описанной окружности $R_{out}$ для равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$R_{out} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Образующей описанного конуса $L_{out}$ является боковое ребро тетраэдра:$L_{out} = a$.

Теперь мы можем вычислить площадь полной поверхности описанного конуса $S_{out}$:
$S_{out} = \pi R_{out} (R_{out} + L_{out}) = \pi \frac{a}{\sqrt{3}} \left( \frac{a}{\sqrt{3}} + a \right) = \pi \frac{a^2}{\sqrt{3}} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 \right) = \pi \frac{a^2}{\sqrt{3}} \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\pi a^2 (1+\sqrt{3})}{3}$.

2. Вписанный конус.

Основанием вписанного конуса является окружность, вписанная в основание тетраэдра.
Радиус вписанной окружности $r_{in}$ для равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$r_{in} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Образующей вписанного конуса $L_{in}$ является апофема тетраэдра (высота его боковой грани). Боковая грань — это равносторонний треугольник со стороной $a$, его высота равна:$L_{in} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим площадь полной поверхности вписанного конуса $S_{in}$:
$S_{in} = \pi r_{in} (r_{in} + L_{in}) = \pi \frac{a}{2\sqrt{3}} \left( \frac{a}{2\sqrt{3}} + \frac{a\sqrt{3}}{2} \right) = \pi \frac{a^2}{2\sqrt{3}} \left( \frac{1 + (\sqrt{3})^2}{2\sqrt{3}} \right) = \pi \frac{a^2}{2\sqrt{3}} \left( \frac{1+3}{2\sqrt{3}} \right) = \pi \frac{a^2 \cdot 4}{4 \cdot 3} = \frac{\pi a^2}{3}$.

3. Отношение поверхностей.

Чтобы определить, во сколько раз полная поверхность описанного конуса больше полной поверхности вписанного конуса, найдем отношение $\frac{S_{out}}{S_{in}}$:$\frac{S_{out}}{S_{in}} = \frac{\frac{\pi a^2 (1+\sqrt{3})}{3}}{\frac{\pi a^2}{3}} = 1+\sqrt{3}$.

Ответ: Полная поверхность описанного конуса больше полной поверхности вписанного конуса в $1+\sqrt{3}$ раз.