Номер 229, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

229. Высота конуса равна 4 см, а радиус — 6 см. Найдите полную поверхность правильной $n$-угольной пирамиды, вписанной в конус, учитывая, что:

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n = 6$;

г) $n = 5$.

Для решения задачи найдем полную поверхность правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус. Полная поверхность пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади её основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Параметры конуса: высота $H = 4$ см, радиус основания $R = 6$ см. Так как пирамида вписана в конус, её высота равна высоте конуса ($H = 4$ см), а основание пирамиды (правильный n-угольник) вписано в окружность основания конуса. Радиус этой окружности равен $R = 6$ см.

Общие формулы для правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$:

• Сторона n-угольника: $a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$
• Апофема n-угольника (радиус вписанной окружности): $r_n = R \cos(\frac{180^\circ}{n})$
• Площадь основания (n-угольника): $S_{осн} = \frac{1}{2} n a_n r_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{360^\circ}{n})$

Площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P = n \cdot a_n$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани). Апофему пирамиды найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$ и апофемой основания $r_n$:

$h_a = \sqrt{H^2 + r_n^2}$

Подставим известные значения $H=4$ см и $R=6$ см в формулы для каждого случая.

а) n = 3

Основание — правильный (равносторонний) треугольник.

1. Найдем площадь основания. Сторона треугольника $a_3 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{3}) = 2 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.
Площадь равностороннего треугольника: $S_{осн} = \frac{a_3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{108\sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности.
Апофема основания: $r_3 = R \cos(\frac{180^\circ}{3}) = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.
Апофема пирамиды: $h_a = \sqrt{H^2 + r_3^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.
Периметр основания: $P = 3 \cdot a_3 = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см.
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{3} \cdot 5 = 45\sqrt{3}$ см².

3. Найдем полную поверхность пирамиды.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 27\sqrt{3} + 45\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$ см².

Ответ: $72\sqrt{3}$ см².

б) n = 4

Основание — квадрат.

1. Найдем площадь основания. Сторона квадрата $a_4 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{4}) = 2 \cdot 6 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.
Площадь квадрата: $S_{осн} = a_4^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности.
Апофема основания: $r_4 = R \cos(\frac{180^\circ}{4}) = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.
Апофема пирамиды: $h_a = \sqrt{H^2 + r_4^2} = \sqrt{4^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 18} = \sqrt{34}$ см.
Периметр основания: $P = 4 \cdot a_4 = 4 \cdot 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см.
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 24\sqrt{2} \cdot \sqrt{34} = 12\sqrt{68} = 12\sqrt{4 \cdot 17} = 24\sqrt{17}$ см².

3. Найдем полную поверхность пирамиды.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 72 + 24\sqrt{17} = 24(3 + \sqrt{17})$ см².

Ответ: $24(3 + \sqrt{17})$ см².

в) n = 6

Основание — правильный шестиугольник.

1. Найдем площадь основания. Сторона шестиугольника $a_6 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{6}) = 2 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см. (Для правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности).
Площадь правильного шестиугольника: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 6^2 = \frac{3\sqrt{3} \cdot 36}{2} = 54\sqrt{3}$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности.
Апофема основания: $r_6 = R \cos(\frac{180^\circ}{6}) = 6 \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Апофема пирамиды: $h_a = \sqrt{H^2 + r_6^2} = \sqrt{4^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 27} = \sqrt{43}$ см.
Периметр основания: $P = 6 \cdot a_6 = 6 \cdot 6 = 36$ см.
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \sqrt{43} = 18\sqrt{43}$ см².

3. Найдем полную поверхность пирамиды.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 54\sqrt{3} + 18\sqrt{43} = 18(3\sqrt{3} + \sqrt{43})$ см².

Ответ: $18(3\sqrt{3} + \sqrt{43})$ см².

г) n = 5

Основание — правильный пятиугольник.

1. Найдем площадь основания.
$S_{осн} = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{360^\circ}{n}) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6^2 \sin(\frac{360^\circ}{5}) = \frac{5}{2} \cdot 36 \sin(72^\circ) = 90 \sin(72^\circ)$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности.
Апофема основания: $r_5 = R \cos(\frac{180^\circ}{5}) = 6 \cos(36^\circ)$ см.
Апофема пирамиды: $h_a = \sqrt{H^2 + r_5^2} = \sqrt{4^2 + (6 \cos(36^\circ))^2} = \sqrt{16 + 36 \cos^2(36^\circ)}$ см.
Сторона основания: $a_5 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{5}) = 2 \cdot 6 \sin(36^\circ) = 12 \sin(36^\circ)$ см.
Периметр основания: $P = 5 \cdot a_5 = 5 \cdot 12 \sin(36^\circ) = 60 \sin(36^\circ)$ см.
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 60 \sin(36^\circ) \cdot \sqrt{16 + 36 \cos^2(36^\circ)} = 30 \sin(36^\circ) \sqrt{16 + 36 \cos^2(36^\circ)}$ см².

3. Найдем полную поверхность пирамиды.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 90 \sin(72^\circ) + 30 \sin(36^\circ) \sqrt{16 + 36 \cos^2(36^\circ)}$.
Вынесем общий множитель и упростим:
$S_{полн} = 90 \cdot (2 \sin(36^\circ)\cos(36^\circ)) + 30 \sin(36^\circ) \cdot 2\sqrt{4 + 9 \cos^2(36^\circ)}$
$S_{полн} = 180 \sin(36^\circ)\cos(36^\circ) + 60 \sin(36^\circ) \sqrt{4 + 9 \cos^2(36^\circ)}$
$S_{полн} = 60 \sin(36^\circ) (3\cos(36^\circ) + \sqrt{4 + 9 \cos^2(36^\circ)})$ см².

Ответ: $60 \sin(36^\circ) (3\cos(36^\circ) + \sqrt{4 + 9 \cos^2(36^\circ)})$ см².