Номер 236, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

236*. Вокруг конуса описана четырехугольная пирамида. Докажите, что суммы площадей ее не смежных боковых граней равны между собой.

Рассмотрим четырехугольную пирамиду, описанную вокруг конуса. Пусть вершина пирамиды и конуса — точка $P$, а основание пирамиды — четырехугольник $ABCD$, который описан вокруг окружности основания конуса.

Докажем, что высоты боковых граней, проведенные из вершины $P$, равны между собой.

Пусть $O$ — центр окружности, вписанной в основание $ABCD$ (это также основание конуса), и $r$ — ее радиус. $PO$ — высота пирамиды и конуса. Опустим из вершины $P$ высоты (апофемы) на стороны основания: $PK_1 \perp AB$, $PK_2 \perp BC$, $PK_3 \perp CD$, $PK_4 \perp DA$, где $K_1, K_2, K_3, K_4$ — точки на сторонах основания.

Проекцией наклонной $PK_1$ на плоскость основания является отрезок $OK_1$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $PK_1 \perp AB$, то и $OK_1 \perp AB$. Поскольку четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности с центром $O$, расстояние от центра $O$ до каждой стороны равно радиусу $r$. Таким образом, $OK_1 = OK_2 = OK_3 = OK_4 = r$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle POK_1, \triangle POK_2, \triangle POK_3, \triangle POK_4$. У них общий катет $PO$ (высота пирамиды $H$) и равные вторые катеты $OK_1 = OK_2 = OK_3 = OK_4 = r$. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны по теореме Пифагора:
$PK_1 = PK_2 = PK_3 = PK_4 = \sqrt{H^2 + r^2}$

Эти гипотенузы являются высотами (апофемами) боковых граней. Обозначим их длину через $l$. Таким образом, все боковые грани имеют одинаковую высоту $l$.

Теперь найдем площади боковых граней. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
$S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot l$
$S_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot l$
$S_{PCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot l$
$S_{PDA} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot l$

Найдем суммы площадей не смежных (противоположных) боковых граней:
$S_{PAB} + S_{PCD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot l + \frac{1}{2} \cdot CD \cdot l = \frac{1}{2}l(AB + CD)$
$S_{PBC} + S_{PDA} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot l + \frac{1}{2} \cdot DA \cdot l = \frac{1}{2}l(BC + DA)$

Основание пирамиды $ABCD$ — это описанный четырехугольник. Для любого описанного четырехугольника справедлива теорема Пито: суммы длин его противоположных сторон равны.
$AB + CD = BC + DA$

Так как $AB + CD = BC + DA$, то и $\frac{1}{2}l(AB + CD) = \frac{1}{2}l(BC + DA)$.
Следовательно, $S_{PAB} + S_{PCD} = S_{PBC} + S_{PDA}$.

Таким образом, доказано, что суммы площадей не смежных боковых граней пирамиды равны между собой.

Ответ: Суммы площадей не смежных боковых граней равны, что и требовалось доказать, так как $S_{PAB} + S_{PCD} = S_{PBC} + S_{PDA}$.