Номер 233, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

233. Найдите ребро:

а) куба, вписанного в конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$ (рис. 131);

б) правильной треугольной призмы, у которой боковые грани являются квадратами и которая вписана в конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$.

Рис. 131

$H$

$\frac{l}{\sqrt{2}}$

$l$

$R$

а) Пусть $l$ — длина ребра куба. Одно основание куба лежит в плоскости основания конуса, а вершины другого основания лежат на боковой поверхности конуса. Верхнее основание куба — это квадрат со стороной $l$, вписанный в окружность, являющуюся сечением конуса на высоте $l$ от основания. Пусть радиус этой окружности равен $r$. Диагональ квадрата равна диаметру этой окружности, то есть $2r = \sqrt{l^2+l^2} = l\sqrt{2}$. Отсюда находим радиус: $r = \frac{l\sqrt{2}}{2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $H$ и радиусом основания $R$. На высоте $l$ от основания конуса (или $H-l$ от вершины) радиус сечения конуса равен $r$. Из подобия треугольников в осевом сечении следует соотношение:$\frac{r}{R} = \frac{H-l}{H}$.
Подставим в это уравнение найденное выражение для $r$ и решим уравнение относительно $l$:$\frac{l/\sqrt{2}}{R} = \frac{H-l}{H}$
$lH = R\sqrt{2}(H-l)$
$lH = RH\sqrt{2} - lR\sqrt{2}$
$lH + lR\sqrt{2} = RH\sqrt{2}$
$l(H+R\sqrt{2}) = RH\sqrt{2}$
$l = \frac{RH\sqrt{2}}{H+R\sqrt{2}}$.
Ответ: $l = \frac{RH\sqrt{2}}{H+R\sqrt{2}}$

б) Пусть $a$ — длина ребра основания правильной треугольной призмы. Согласно условию, боковые грани призмы являются квадратами, значит, высота призмы также равна $a$. Одно основание призмы (правильный треугольник) лежит в плоскости основания конуса, а вершины другого основания лежат на боковой поверхности конуса. Верхнее основание призмы — это правильный треугольник со стороной $a$, вписанный в окружность, являющуюся сечением конуса на высоте $a$ от основания. Пусть радиус этой окружности равен $r$. Этот радиус является радиусом описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$, который вычисляется по формуле $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Рассмотрим осевое сечение конуса. На высоте $a$ от основания (или $H-a$ от вершины) радиус сечения равен $r$. Из подобия треугольников (аналогично пункту а)) имеем:$\frac{r}{R} = \frac{H-a}{H}$.
Подставим в это уравнение выражение для $r$ и решим уравнение относительно $a$:$\frac{a/\sqrt{3}}{R} = \frac{H-a}{H}$
$aH = R\sqrt{3}(H-a)$
$aH = RH\sqrt{3} - aR\sqrt{3}$
$aH + aR\sqrt{3} = RH\sqrt{3}$
$a(H+R\sqrt{3}) = RH\sqrt{3}$
$a = \frac{RH\sqrt{3}}{H+R\sqrt{3}}$.
Ответ: $a = \frac{RH\sqrt{3}}{H+R\sqrt{3}}$