Номер 213, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

213. Найдите площадь сечения усеченного конуса плоскостью, учитывая, что она проходит через:

а) две его образующие, отсекает от окружности основания дугу в $120^\circ$, радиусы оснований конуса равны 3 и 5, а высота — $\sqrt{2}$;

б) середину высоты, параллельна основаниям, площади которых равны $16 \, \text{дм}^2$ и $64 \, \text{дм}^2$.

Рис. 127

а) Сечение усеченного конуса, проходящее через две его образующие, представляет собой равнобокую трапецию. Обозначим ее $ABCD$, где основания $AB$ и $CD$ лежат в плоскостях оснований конуса.

Основания трапеции $AB$ и $CD$ являются хордами в окружностях оснований конуса. По условию, секущая плоскость отсекает от окружности большего основания дугу в $120^\circ$. Это означает, что центральный угол, опирающийся на хорду $AB$, также равен $120^\circ$. Радиус большего основания $R=5$.

Найдем длину большего основания трапеции $AB$, используя теорему косинусов для треугольника, образованного двумя радиусами и хордой:

$AB^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ) = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 25 + 25 + 25 = 75$

$AB = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

Аналогично, хорда $CD$ в меньшем основании с радиусом $r=3$ также стягивает дугу в $120^\circ$. Найдем ее длину:

$CD^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(120^\circ) = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 9 + 9 + 9 = 27$

$CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

Боковой стороной трапеции является образующая усеченного конуса $l$. Найдем ее длину, рассмотрев осевое сечение конуса. Оно представляет собой трапецию с высотой $h_{кон} = \sqrt{2}$ и радиусами оснований $R=5$ и $r=3$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, разностью радиусов и образующей, по теореме Пифагора:

$l^2 = h_{кон}^2 + (R-r)^2 = (\sqrt{2})^2 + (5-3)^2 = 2 + 4 = 6$

$l = \sqrt{6}$.

Теперь найдем высоту трапеции сечения $h_{тр}$. Проведем высоту из вершины $D$ к основанию $AB$. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $l=\sqrt{6}$ и катетом, равным полуразности оснований трапеции:

$\frac{AB-CD}{2} = \frac{5\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора найдем второй катет, который и является высотой трапеции $h_{тр}$:

$h_{тр}^2 = l^2 - \left(\frac{AB-CD}{2}\right)^2 = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$

$h_{тр} = \sqrt{3}$.

Площадь трапеции сечения $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{AB+CD}{2} \cdot h_{тр} = \frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12$.

Ответ: 12.

б) Сечение, проходящее через середину высоты усеченного конуса и параллельное его основаниям, является кругом. Обозначим площади оснований $S_1 = 64 \text{ дм}^2$ и $S_2 = 16 \text{ дм}^2$, а площадь искомого сечения $S_{ср}$.

Радиус сечения усеченного конуса, параллельного основаниям, является линейной функцией высоты. Следовательно, корень квадратный из площади такого сечения также является линейной функцией высоты. Так как сечение проходит ровно посередине высоты, то корень из его площади будет равен среднему арифметическому корней из площадей оснований.

Найдем корни из площадей оснований:

$\sqrt{S_1} = \sqrt{64} = 8 \text{ дм}$

$\sqrt{S_2} = \sqrt{16} = 4 \text{ дм}$

Теперь найдем корень из площади среднего сечения:

$\sqrt{S_{ср}} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6 \text{ дм}$

Тогда площадь искомого сечения равна:

$S_{ср} = (\sqrt{S_{ср}})^2 = 6^2 = 36 \text{ дм}^2$.

Ответ: 36 дм².