Номер 207, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

207. Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная его образующей, длина которой равна $l$. Найдите длину отрезка прямой, который заключен внутри конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через его вершину S, центр основания O и образующую, которой параллельна данная прямая. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, назовем его $\Delta ASB$, где $AB$ – диаметр основания, а $SA$ и $SB$ – образующие. $SO$ – высота конуса.

По условию, длина образующей равна $l$, то есть $SA = SB = l$.

Пусть $M$ – середина высоты $SO$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная образующей $SA$. Обозначим эту прямую как $d$. Так как прямая $d$ проходит через точку $M$, лежащую на оси конуса $SO$, и параллельна образующей $SA$, лежащей в плоскости осевого сечения, то вся прямая $d$ лежит в плоскости этого осевого сечения $(\Delta ASB)$.

Отрезок прямой $d$, заключенный внутри конуса, – это отрезок, концы которого лежат на границе конуса. Граница конуса в рассматриваемом сечении состоит из образующих $SA$, $SB$ и основания $AB$.

Прямая $d$ параллельна $SA$ и не совпадает с ней, следовательно, она не пересекает отрезок $SA$. Значит, концы искомого отрезка должны лежать на основании $AB$ и образующей $SB$.

Пусть прямая $d$ пересекает основание $AB$ в точке $D$ и образующую $SB$ в точке $C$. Искомая длина – это длина отрезка $CD$.

Для нахождения длины отрезка $CD$ воспользуемся методом подобных треугольников.

Рассмотрим треугольники $\Delta BCD$ и $\Delta BSA$.

1. Угол $\angle B$ у них общий.
2. Так как прямая $CD$ (которая является частью прямой $d$) параллельна прямой $SA$, то соответственные углы при пересечении этих параллельных прямых секущей $AB$ равны: $\angle BDC = \angle BSA$. (Строго говоря, $\angle ODS = \angle OAS$, где $D$ на $OB$ или $OA$. Но $\angle BDC = \angle BAS$, так как $d \parallel SA$ и $AB$ - секущая).

Следовательно, треугольник $\Delta BCD$ подобен треугольнику $\Delta BSA$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$\frac{CD}{SA} = \frac{BD}{BA} = \frac{BC}{BS}$

Мы ищем $CD$. Мы знаем, что $SA = l$. Таким образом, $CD = SA \cdot \frac{BD}{BA} = l \cdot \frac{BD}{BA}$.

Теперь найдем отношение $\frac{BD}{BA}$.

Рассмотрим треугольник $\Delta SOA$. $M$ – середина $SO$. Прямая $d$, проходящая через $M$, параллельна $SA$. Пусть она пересекает $OA$ в точке $D'$. По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия $\Delta OMD'$ и $\Delta OSA$), так как $M$ – середина $SO$, то $D'$ – середина $OA$.

Однако наша точка $D$ лежит на прямой $AB$. Прямая $d$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. В треугольнике $\Delta ASB$ проведем через точку $M$ прямую, параллельную $SA$. Она пересечет $SO$ в $M$, $SB$ в $C$ и $AB$ в $D$.

Рассмотрим $\Delta SOA$. В нем проведем прямую $MD$ (часть прямой $d$), $MD \parallel SA$. $\Delta OMD$ подобен $\Delta OSA$. Поскольку $M$ - середина $SO$, то $OM/SO = 1/2$. Следовательно, $OD/OA = 1/2$, то есть $OD = \frac{1}{2}OA$.

Пусть радиус основания конуса равен $R$. Тогда $OA = R$ и $AB = 2R$.

Точка $D$ лежит на отрезке $OA$, и $OD = \frac{1}{2}R$.

Найдем длину отрезка $BD$:

$BD = BO + OD = R + \frac{1}{2}R = \frac{3}{2}R$.

Теперь мы можем найти искомое отношение:

$\frac{BD}{BA} = \frac{\frac{3}{2}R}{2R} = \frac{3}{4}$.

Наконец, найдем длину отрезка $CD$:

$CD = l \cdot \frac{BD}{BA} = l \cdot \frac{3}{4} = \frac{3l}{4}$.

Ответ: Длина отрезка прямой, заключенного внутри конуса, равна $\frac{3l}{4}$.