Номер 201, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

201. Площадь основания конуса равна $S_1$, а его боковая поверхность— $S_0$. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, высоту конуса как $H$, а его образующую как $L$.

Площадь основания конуса, $S_1$, представляет собой площадь круга с радиусом $R$. Формула для площади основания:

$S_1 = \pi R^2$

Площадь боковой поверхности конуса, $S_0$, вычисляется по формуле:

$S_0 = \pi R L$

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$). Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса ($L$).

Площадь осевого сечения, которую нам нужно найти (обозначим ее $S_{ос}$), вычисляется как площадь этого треугольника:

$S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R H$

Высота $H$, радиус $R$ и образующая $L$ связаны соотношением по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, который они образуют:

$L^2 = R^2 + H^2$

Отсюда $H = \sqrt{L^2 - R^2}$.

Подставим это выражение в формулу для площади осевого сечения:

$S_{ос} = R \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{R^2 (L^2 - R^2)} = \sqrt{R^2 L^2 - R^4}$

Теперь выразим $R^4$ и $R^2 L^2$ через данные нам площади $S_1$ и $S_0$.

Из формулы для площади основания $S_1 = \pi R^2$ возведем обе части в квадрат:

$S_1^2 = (\pi R^2)^2 = \pi^2 R^4$

Отсюда получаем:

$R^4 = \frac{S_1^2}{\pi^2}$

Из формулы для площади боковой поверхности $S_0 = \pi R L$ также возведем обе части в квадрат:

$S_0^2 = (\pi R L)^2 = \pi^2 R^2 L^2$

Отсюда получаем:

$R^2 L^2 = \frac{S_0^2}{\pi^2}$

Теперь подставим полученные выражения для $R^4$ и $R^2 L^2$ в формулу для $S_{ос}$:

$S_{ос} = \sqrt{\frac{S_0^2}{\pi^2} - \frac{S_1^2}{\pi^2}} = \sqrt{\frac{S_0^2 - S_1^2}{\pi^2}}$

Извлекая квадратный корень из знаменателя, получаем окончательную формулу:

$S_{ос} = \frac{\sqrt{S_0^2 - S_1^2}}{\pi}$

Для существования конуса необходимо, чтобы $S_0 > S_1$, что обеспечивает положительное значение подкоренного выражения.

Ответ: $\frac{\sqrt{S_0^2 - S_1^2}}{\pi}$