Номер 195, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

195. Найдите полную поверхность конуса, у которого:

a) площадь осевого сечения равна 0,6 м², а высота конуса — 1,2 м;

б) площадь осевого сечения равна 25 см², а угол между высотой и образующей — 45°;

в) образующая наклонена под углом $ \varphi $ к основанию, а вписанный в него треугольник имеет одной стороной отрезок длиной $ a $ и противолежащий угол величиной $ \alpha $.

а)

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R + L)$, где $R$ — радиус основания, а $L$ — образующая конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота — высоте конуса ($H$). Его площадь $S_{сеч}$ равна $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot H = RH$.

По условию дано, что площадь осевого сечения $S_{сеч} = 0,6 \text{ м}^2$ и высота конуса $H = 1,2 \text{ м}$. Из формулы площади сечения найдем радиус основания $R$: $R = \frac{S_{сеч}}{H} = \frac{0,6}{1,2} = 0,5 \text{ м}$.

Образующая $L$, высота $H$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $L$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $L^2 = R^2 + H^2$. Найдем длину образующей $L$: $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{(0,5)^2 + (1,2)^2} = \sqrt{0,25 + 1,44} = \sqrt{1,69} = 1,3 \text{ м}$.

Теперь, зная $R$ и $L$, можем вычислить полную поверхность конуса: $S_{полн} = \pi R (R + L) = \pi \cdot 0,5 \cdot (0,5 + 1,3) = \pi \cdot 0,5 \cdot 1,8 = 0,9\pi \text{ м}^2$.

Ответ: $0,9\pi \text{ м}^2$.

б)

Формула для полной поверхности конуса: $S_{полн} = \pi R(R+L)$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Высота $H$ делит его на два равных прямоугольных треугольника с катетами $R$ (радиус) и $H$ (высота) и гипотенузой $L$ (образующая).

Угол между высотой $H$ и образующей $L$ в этом прямоугольном треугольнике по условию равен $45^\circ$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то второй острый угол (между образующей $L$ и радиусом $R$) также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Следовательно, этот прямоугольный треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $R = H$.

Площадь осевого сечения вычисляется как $S_{сеч} = RH$. Подставляя $H=R$, получаем $S_{сеч} = R \cdot R = R^2$.

По условию $S_{сеч} = 25 \text{ см}^2$. Значит, $R^2 = 25$, откуда радиус $R = 5 \text{ см}$. Так как $R=H$, то и высота $H = 5 \text{ см}$.

Найдем образующую $L$ по теореме Пифагора: $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

Вычислим полную поверхность конуса: $S_{полн} = \pi R (R + L) = \pi \cdot 5 \cdot (5 + 5\sqrt{2}) = 25\pi(1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.

Ответ: $25\pi(1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.

в)

Для нахождения полной поверхности конуса $S_{полн} = \pi R (R + L)$ необходимо выразить радиус основания $R$ и образующую $L$ через заданные параметры $a$, $\alpha$ и $\phi$.

Будем считать, что "треугольник, вписанный в конус" означает, что одна его вершина совпадает с вершиной конуса, а две другие лежат на окружности основания. Такой треугольник является сечением конуса плоскостью. Две его стороны равны образующей конуса $L$, а третья сторона — это хорда в основании конуса длиной $a$. Угол при вершине конуса, противолежащий этой стороне, по условию равен $\alpha$.

Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник со сторонами $L, L$ и $a$. Применим к нему теорему косинусов, чтобы связать его стороны и угол $\alpha$: $a^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos\alpha = 2L^2(1 - \cos\alpha)$.

Используя тригонометрическую формулу $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, преобразуем выражение: $a^2 = 2L^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4L^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

Извлекая квадратный корень, получаем $a = 2L\sin(\frac{\alpha}{2})$, откуда выражаем образующую $L$: $L = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Далее, по условию, образующая наклонена к плоскости основания под углом $\phi$. Этот угол находится в прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом $R$ и образующей $L$. В этом треугольнике $L$ — гипотенуза, а $R$ — катет, прилежащий к углу $\phi$. Следовательно, их связывает соотношение: $\cos\phi = \frac{R}{L}$, откуда $R = L\cos\phi$.

Подставим ранее найденное выражение для $L$, чтобы выразить $R$: $R = \frac{a \cos\phi}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь у нас есть выражения для $R$ и $L$ через известные величины. Подставим их в формулу полной поверхности конуса: $S_{полн} = \pi R(R+L) = \pi (L\cos\phi)(L\cos\phi + L) = \pi L^2 \cos\phi (1+\cos\phi)$.

Наконец, заменим $L^2$ на его выражение через $a$ и $\alpha$: $S_{полн} = \pi \cdot \frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} \cdot \cos\phi (1+\cos\phi) = \frac{\pi a^2 \cos\phi(1+\cos\phi)}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2 \cos\phi(1+\cos\phi)}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.