Номер 193, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

193. Найдите боковую поверхность и площадь основания конуса, учитывая, что его осевое сечение — равносторонний треугольник с высотой $2\sqrt{3}$ см.

По условию, осевое сечение конуса — это равносторонний треугольник. В таком сечении высота треугольника является высотой конуса ($H$), а сторона треугольника ($a$) равна образующей конуса ($l$) и диаметру его основания ($d$).

Дана высота осевого сечения $H = 2\sqrt{3}$ см.

Высота равностороннего треугольника связана с его стороной $a$ формулой: $H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим известное значение высоты и найдем сторону треугольника $a$:

$2\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$4\sqrt{3} = a\sqrt{3}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$a = 4$ см.

Таким образом, мы нашли основные параметры конуса:

• Образующая конуса: $l = a = 4$ см.
• Диаметр основания: $d = a = 4$ см.
• Радиус основания: $r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь можем вычислить требуемые площади.

Боковая поверхность

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Подставляем значения радиуса $r = 2$ см и образующей $l = 4$ см:

$S_{бок} = \pi \cdot 2 \cdot 4 = 8\pi$ см².

Ответ: $8\pi$ см².

Площадь основания

Площадь основания конуса — это площадь круга, которая вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.

Подставляем значение радиуса $r = 2$ см:

$S_{осн} = \pi \cdot (2)^2 = 4\pi$ см².

Ответ: $4\pi$ см².