Номер 196, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

196. Найдите боковую поверхность конуса, высота которого равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения равен $90^\circ$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – это радиус основания конуса, а $l$ – его образующая.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Боковыми сторонами этого треугольника являются образующие конуса ($l$), а основанием – диаметр основания конуса ($d = 2r$). Высота этого треугольника, опущенная на основание, является высотой конуса ($h$).

Согласно условию, угол при вершине осевого сечения равен $90^\circ$. Это значит, что осевое сечение является прямоугольным равнобедренным треугольником.

Высота конуса $h$ делит осевое сечение на два равных прямоугольных треугольника. Каждый из этих треугольников имеет катеты $h$ и $r$ и гипотенузу $l$. Угол при вершине конуса в каждом из этих малых треугольников будет равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$. Таким образом, эти малые треугольники являются не только прямоугольными, но и равнобедренными, поскольку второй острый угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Следовательно, радиус основания $r$ равен высоте конуса $h$.

По условию задачи, $h = 4$ см. Значит, $r = 4$ см.

Теперь найдем длину образующей $l$ с помощью теоремы Пифагора для одного из малых прямоугольных треугольников: $l^2 = h^2 + r^2$ $l^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$ $l = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Подставим найденные значения $r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $16\pi\sqrt{2}$ см².