Номер 203, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

203. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, учитывая, что:

а) она проведена через вершину конуса и отсекает от окружности основания дугу в $90^\circ$, а высота конуса равна радиусу основания $r$;

б) она проведена через две взаимно перпендикулярные образующие, высота конуса равна $h$ и наклонена к образующей под углом в $60^\circ$;

в) она проведена через вершину конуса, составляет с плоскостью основания угол в $60^\circ$ и отсекает от окружности основания с радиусом $r$ дугу в $120^\circ$;

г) она проведена через вершину конуса и отстоит от центра основания на 24 см, высота конуса равна 40 см, а радиус основания — 50 см;

д) она параллельна основанию конуса с радиусом $R$ и отстоит на $d$ от вершины, а высота конуса равна $H$.

а)

Сечение, проходящее через вершину конуса, представляет собой равнобедренный треугольник. Две его боковые стороны — это образующие конуса $L$, а основание — хорда $c$ в основании конуса.

1. Найдем длину образующей $L$. В осевом сечении конуса образующая, высота $H$ и радиус основания $r$ образуют прямоугольный треугольник. По условию, высота конуса равна радиусу основания: $H = r$. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + r^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$

$L = r\sqrt{2}$

2. Найдем длину хорды $c$. Хорда отсекает от окружности основания дугу в $90^\circ$. Это значит, что центральный угол, опирающийся на эту хорду, также равен $90^\circ$. В основании конуса рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник, образованный двумя радиусами $r$ и хордой $c$. По теореме Пифагора:

$c^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$

$c = r\sqrt{2}$

3. Треугольник сечения имеет три стороны, равные $r\sqrt{2}$ ($L=L=c=r\sqrt{2}$). Следовательно, это равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = r\sqrt{2}$:

$S = \frac{(r\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2r^2\sqrt{3}}{4} = \frac{r^2\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $S = \frac{r^2\sqrt{3}}{2}$.

б)

1. Сечение проходит через две взаимно перпендикулярные образующие. Это означает, что сечение представляет собой прямоугольный равнобедренный треугольник, катетами которого являются образующие $L$, а гипотенузой — хорда основания. Площадь такого треугольника равна:

$S = \frac{1}{2}L \cdot L = \frac{1}{2}L^2$

2. Найдем длину образующей $L$. Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно образует прямоугольный треугольник с катетами — высотой конуса $h$ и радиусом основания, и гипотенузой — образующей $L$. Угол между высотой $h$ и образующей $L$ равен $60^\circ$. Из определения косинуса в этом прямоугольном треугольнике:

$\cos(60^\circ) = \frac{h}{L}$

$L = \frac{h}{\cos(60^\circ)} = \frac{h}{1/2} = 2h$

3. Теперь вычислим площадь сечения:

$S = \frac{1}{2}L^2 = \frac{1}{2}(2h)^2 = \frac{1}{2}(4h^2) = 2h^2$

Ответ: $S = 2h^2$.

в)

1. Сечение — это равнобедренный треугольник, основанием которого является хорда $c$, а боковыми сторонами — образующие конуса. Площадь этого треугольника $S = \frac{1}{2} c \cdot h_s$, где $h_s$ — высота этого треугольника (апофема сечения).

2. Найдем длину хорды $c$. Хорда отсекает дугу в $120^\circ$, значит, центральный угол, опирающийся на нее, также равен $120^\circ$. В равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами $r$ и хордой $c$, проведем высоту к хорде. Она разделит центральный угол пополам ($60^\circ$) и хорду пополам. Длина половины хорды:

$\frac{c}{2} = r \cdot \sin(60^\circ) = r\frac{\sqrt{3}}{2}$

$c = r\sqrt{3}$

3. Найдем высоту сечения $h_s$. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $60^\circ$. Этот угол является углом между высотой сечения $h_s$ и высотой треугольника в основании, проведенной к хорде $c$ (расстоянием от центра основания до хорды, назовем его $d_c$).

Найдем $d_c$ из того же треугольника в основании:

$d_c = r \cdot \cos(60^\circ) = r \cdot \frac{1}{2} = \frac{r}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, расстоянием $d_c$ и высотой сечения $h_s$ (которая является гипотенузой). Угол между $d_c$ и $h_s$ равен $60^\circ$.

$\cos(60^\circ) = \frac{d_c}{h_s}$

$h_s = \frac{d_c}{\cos(60^\circ)} = \frac{r/2}{1/2} = r$

4. Вычислим площадь сечения:

$S = \frac{1}{2} c \cdot h_s = \frac{1}{2} \cdot r\sqrt{3} \cdot r = \frac{r^2\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $S = \frac{r^2\sqrt{3}}{2}$.

г)

1. Сечение — равнобедренный треугольник, проходящий через вершину конуса $P$. Обозначим его основание (хорду) как $AB$, а высоту — $PM$, где $M$ — середина хорды $AB$. Площадь сечения $S = \frac{1}{2} AB \cdot PM$.

2. Дано: высота конуса $H = PO = 40$ см, радиус основания $R = 50$ см, расстояние от центра основания $O$ до плоскости сечения $d = 24$ см. Это расстояние есть перпендикуляр $OK$, опущенный из точки $O$ на плоскость сечения $PAB$. Точка $K$ будет лежать на высоте сечения $PM$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $POM$ (с прямым углом при $O$). $PO=H=40$ см, $OM$ — расстояние от центра до хорды, $PM$ — высота сечения. $OK = 24$ см — высота этого треугольника, проведенная к гипотенузе $PM$.

Площадь треугольника $POM$ можно выразить двумя способами: $S_{POM} = \frac{1}{2} PO \cdot OM = \frac{1}{2} PM \cdot OK$.

Используя соотношения в прямоугольном треугольнике, можно найти $OM$. Из подобия $\triangle POK \sim \triangle OMK$ или из теоремы Пифагора:В $\triangle POK$: $PK^2 = PO^2 - OK^2 = 40^2 - 24^2 = (40-24)(40+24) = 16 \cdot 64$. $PK = \sqrt{16 \cdot 64} = 4 \cdot 8 = 32$ см. Из подобия $\triangle POK$ и $\triangle OMK$: $\frac{OK}{OM} = \frac{PK}{PO} \implies \frac{24}{OM} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$.$OM = \frac{24 \cdot 5}{4} = 30$ см.

4. Найдем высоту сечения $PM$. По теореме Пифагора в $\triangle POM$:

$PM^2 = PO^2 + OM^2 = 40^2 + 30^2 = 1600 + 900 = 2500$

$PM = \sqrt{2500} = 50$ см.

5. Найдем длину хорды $AB$. В круге основания рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$, где $OA=R=50$ см — радиус, $OM=30$ см — расстояние до хорды. По теореме Пифагора:

$AM^2 = OA^2 - OM^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600$

$AM = \sqrt{1600} = 40$ см.

$AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 40 = 80$ см.

6. Вычислим площадь сечения:

$S = \frac{1}{2} AB \cdot PM = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 50 = 2000$ см².

Ответ: $S = 2000$ см².

д)

1. Сечение, параллельное основанию конуса, является кругом. Это сечение отсекает от исходного конуса меньший конус, подобный исходному.

2. Обозначим: $H$ — высота исходного конуса, $R$ — радиус его основания. $d$ — расстояние от вершины до плоскости сечения, что является высотой малого конуса. $r$ — радиус сечения (основания малого конуса).

3. Из подобия конусов (или из подобия их осевых сечений, которые являются равнобедренными треугольниками) следует, что отношение радиусов оснований равно отношению высот:

$\frac{r}{R} = \frac{d}{H}$

Отсюда выразим радиус сечения $r$:

$r = \frac{d \cdot R}{H}$

4. Площадь сечения — это площадь круга с радиусом $r$.

$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{dR}{H}\right)^2 = \frac{\pi d^2 R^2}{H^2}$

Ответ: $S = \frac{\pi d^2 R^2}{H^2}$.