Номер 204, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

204. Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной $2m$.

Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен:

а) $30^\circ$;

б) $45^\circ$;

в) $60^\circ$;

г) $90^\circ$.

По условию, осевое сечение конуса — это правильный (равносторонний) треугольник со стороной $2m$. Сторонами осевого сечения являются две образующие конуса и диаметр его основания. Из этого следует, что длина образующей конуса $L$ равна стороне этого треугольника, то есть $L = 2m$.

Сечение, проведенное через две образующие, также является треугольником. Две стороны этого треугольника — это образующие конуса, каждая длиной $L = 2m$. Третья сторона — хорда основания конуса. Таким образом, это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $L$.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. В нашем случае, $a=L$, $b=L$, а угол между ними — это угол между образующими, который мы обозначим как $\alpha$.

Формула для площади сечения принимает вид:

$S = \frac{1}{2} L \cdot L \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} L^2 \sin\alpha$

Подставим значение длины образующей $L = 2m$:

$S = \frac{1}{2} (2m)^2 \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 4m^2 \sin\alpha = 2m^2 \sin\alpha$

Теперь, используя эту формулу, решим задачу для каждого из заданных углов.

а) Угол между образующими $\alpha = 30^\circ$.

Площадь сечения $S$ равна:

$S = 2m^2 \sin30^\circ = 2m^2 \cdot \frac{1}{2} = m^2$

Ответ: $m^2$.

б) Угол между образующими $\alpha = 45^\circ$.

Площадь сечения $S$ равна:

$S = 2m^2 \sin45^\circ = 2m^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = m^2\sqrt{2}$

Ответ: $m^2\sqrt{2}$.

в) Угол между образующими $\alpha = 60^\circ$.

Площадь сечения $S$ равна:

$S = 2m^2 \sin60^\circ = 2m^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = m^2\sqrt{3}$

Ответ: $m^2\sqrt{3}$.

г) Угол между образующими $\alpha = 90^\circ$.

Площадь сечения $S$ равна:

$S = 2m^2 \sin90^\circ = 2m^2 \cdot 1 = 2m^2$

Ответ: $2m^2$.